Порождающее множество группы — это такое её подмножество, что каждый её элемент может быть представлен в виде конечного произведения элементов из этого подмножества и их обратных. Также используются термины множество образующих и система образующих .

Одна и та же группа может иметь много разных порождающих множеств. Указание порождающего множества позволяет ввести на группе структуру графа Кэли . Кроме того, группы можно задавать, указывая порождающие множества и соотношения между ними.

Определение

Пусть ${\displaystyle S}$ — подмножество группы ${\displaystyle G}$ . Подгруппой, порождённой множеством ${\displaystyle S}$ , называется множество ${\displaystyle \langle S\rangle }$ всех элементов, которые могут быть представлены в виде конечного произведения элементов из ${\displaystyle S}$ и их обратных . (другими словами, в G нет хотя бы одной собственной подгруппы, содержащей S) Если ${\displaystyle S}$ пусто, то, по-определению, ${\displaystyle \langle S\rangle }$ является тривиальной подгруппой, состоящей только из нейтрального элемента .

Если ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$ , то говорят, что ${\displaystyle S}$ порождает группу ${\displaystyle G}$ . При этом множество ${\displaystyle S}$ называется порождающим , а его элементы — образующими или генераторами (от англ. generators ) группы.

Любая группа имеет хотя бы одно порождающее множество: ${\displaystyle G=\langle G\rangle }$ .

Если в группе ${\displaystyle G}$ можно выбрать конечное множество образующих, то её называют конечно порождённой . Мощность наименьшего порождающего множества группы называется её рангом .

Например, циклические группы — это в точности группы ранга один.

Замечания

• Множество ${\displaystyle \langle S\rangle }$ совпадает с пересечением всех подгрупп группы ${\displaystyle G}$ , содержащих ${\displaystyle S}$ , и является наименьшей подгруппой в ${\displaystyle G}$ , содержащей ${\displaystyle S}$ .

• Если ${\displaystyle S}$ состоит только из одного элемента ${\displaystyle x}$ , обычно пишут ${\displaystyle \langle x\rangle }$ вместо ${\displaystyle \langle \{x\}\rangle }$ . В таком случае ${\displaystyle \langle x\rangle }$ — циклическая подгруппа, состоящая из всех степеней элемента ${\displaystyle x}$ .

Порождающие полугруппы и моноида

Для случая, когда ${\displaystyle G}$ является полугруппой или моноидом, тоже можно ввести аналогичное понятие порождающего множества: ${\displaystyle S}$ порождает ${\displaystyle G}$ как полугруппу или моноид , если ${\displaystyle G}$ является минимальной полугруппой или минимальным моноидом соответственно, содержащим ${\displaystyle S}$ .

Такое определение тоже можно изложить на языке представимости элемента в виде комбинации. Для полугруппы можно сказать, что ${\displaystyle S}$ является порождающим множеством, если каждый элемент ${\displaystyle G}$ можно представить как конечное произведение элементов из ${\displaystyle S}$ . Для моноида можно сказать, что ${\displaystyle S}$ является порождающим множеством, если каждый элемент ${\displaystyle G}$ , кроме нейтрального, можно представить как конечное произведение элементов из ${\displaystyle S}$ .

Из-за разницы определений одно и то же множество может быть порождающим в одном смысле, но не быть в другом. Например, для моноида неотрицательных целых чисел ${\displaystyle (\mathbb {N} _{\geq 0},+)}$ порождающим множеством будет ${\displaystyle S=\{1\}}$ , но для полугруппы ${\displaystyle (\mathbb {N} _{\geq 0},+)}$ ${\displaystyle S}$ уже не является порождающим множеством, так как 0 нельзя представить в виде суммы единиц. Аналогично, для ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ как группы ${\displaystyle \{1\}}$ является порождающим множеством, а для моноида — нет, так как в определении порождающего множества для моноида не включено взятие обратных.

Примечания

Литература

• Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1968. — 564 с.
• Курош А. Г. Теория групп. — М. : Наука, 1967. — 648 с.
• Введение в алгебру часть 1 Основы алгебры 149 с.