Гру́ппа в математике — множество , на котором определена ассоциативная бинарная операция , причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный . Ветвь общей алгебры , занимающаяся группами, называется теорией групп .

Один из примеров группы — множество целых чисел , снабжённое операцией сложения : сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль , а число с противоположным знаком является обратным элементом. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат . Благодаря определению группы через систему аксиом , не привязанной к специфике её элементов, создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры . Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.

Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований , оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии , помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени , а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц .

Понятие группы ввёл Эварист Галуа , изучая многочлены в 1830-е годы .

Современная теория групп является активным разделом математики . Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп , которая была завершена в 1981 году : доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве . С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп , изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.

Определение

Множество ${\displaystyle G}$ с заданной на нём бинарной операцией ${\displaystyle {*}}$ : ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ называется группой ${\displaystyle (\mathrm {G} ,*)}$ , если выполнены следующие аксиомы :

1. ассоциативность : ${\displaystyle \forall (a,b,c\in G)\colon (a*b)*c=a*(b*c)}$ ;
2. наличие нейтрального элемента : ${\displaystyle \exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (e*a=a*e=a)}$ ;
3. наличие обратного элемента : ${\displaystyle \forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)}$ .

Последние две аксиомы можно заменить одной аксиомой существования операции обратной ${\displaystyle *}$ :

${\displaystyle \forall (a,b\in G)\quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)}$ .

При этом вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального элемента и левого обратного элемента. При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементами .

Связанные определения

• В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности .
  • Пары элементов ${\displaystyle a,\;b}$ , для которых выполнено равенство ${\displaystyle a*b=b*a}$ , называются перестановочными или коммутирующими .
  • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы .
  • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой .
• Подгруппа — подмножество ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G}$ , которое является группой относительно операции, определённой в ${\displaystyle G}$ .
• Порядок группы ${\displaystyle (G,*)}$ — мощность ${\displaystyle G}$ (то есть число её элементов).
  • Если множество ${\displaystyle G}$ конечно, то группа называется конечной .
• Гомоморфизмы групп — это отображения групп, которые сохраняют групповую структуру. То есть отображение групп ${\displaystyle f\colon (G,*)\to (H,\times )}$ называется гомоморфизмом , если удовлетворяет условию ${\displaystyle f(a*b)=f(a)\times f(b)}$ .
• Две группы называются изоморфными , если существуют гомоморфизм групп ${\displaystyle f\colon (G,*)\to (H,\times )}$ и гомоморфизм групп ${\displaystyle g\colon (H,\times )\to (G,*)}$ , такие что ${\displaystyle f(g(a))=a}$ и ${\displaystyle g(f(b))=b}$ , где ${\displaystyle b\in G}$ и ${\displaystyle a\in H}$ . В этом случае эти гомоморфизмы называются изоморфизмами .
• Для элемента ${\displaystyle g\in G}$ левый смежный класс по подгруппе ${\displaystyle H}$ — множество ${\displaystyle gH=\{gh\mid h\in H\}}$ , правый смежный класс по подгруппе ${\displaystyle H}$ — множество ${\displaystyle Hg=\{hg\mid h\in H\}}$ .
• Нормальная подгруппа — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Для любого ${\displaystyle g\in G}$ , ${\displaystyle gH=Hg}$ .
• Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением ; тогда применяется мультипликативная запись :

• результат операции называют произведением и записывают ${\displaystyle a\cdot b}$ или ${\displaystyle ab}$ ;
• нейтральный элемент обозначается « ${\displaystyle 1}$ » или ${\displaystyle e}$ и называется единицей ;
• обратный к ${\displaystyle a}$ элемент записывается как ${\displaystyle a^{-1}}$ .

Если групповая операция именуется умножением , то саму такую группу ${\displaystyle \mathrm {G} }$ при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: ${\displaystyle (\mathrm {G} ,\cdot )}$ .

Кратные произведения ${\displaystyle aa}$ , ${\displaystyle aaa}$ , ${\displaystyle ...}$ записывают в виде натуральных степеней ${\displaystyle a^{2}}$ , ${\displaystyle a^{3}}$ , ${\displaystyle ...}$ . Для элемента ${\displaystyle a}$ корректно определена целая степень, записывается следующим образом: ${\displaystyle a^{0}=e}$ , ${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n}}$ .

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно :

• пишут « ${\displaystyle a+b}$ » и называют получившийся элемент суммой элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ;
• нейтральный элемент обозначают как « ${\displaystyle 0}$ » и называют его нулём ;
• обратный элемент к ${\displaystyle a}$ обозначают как « ${\displaystyle -a}$ » и называют его противоположным к ${\displaystyle a}$ элементом;
• запись сокращают следующим образом: ${\displaystyle a+(-b)=a-b}$ ;
• выражения вида ${\displaystyle a+a}$ , ${\displaystyle a+a+a}$ , ${\displaystyle -a-a}$ обозначают символами ${\displaystyle 2a}$ , ${\displaystyle 3a}$ , ${\displaystyle -2a}$ .

Если групповая операция именуется сложением , то саму такую группу ${\displaystyle \mathrm {G} }$ при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: ${\displaystyle (\mathrm {G} ,+)}$ . Этот термин относится только к способу записи операции в группе; он полезен, когда на множестве задано несколько операций. Например, можно говорить об аддитивной группе вещественных чисел или о мультипликативной группе положительных вещественных чисел . Кроме того, встречаются случаи, когда аддитивная группа изоморфна мультипликативной (см. Корни из единицы ).

Примеры

• Множество целых чисел , снабжённое операцией сложения, является группой.
• Множество всех рациональных чисел , кроме нуля, с операцией умножения является группой.

Группы применяются в различных областях математики. Например, в топологии , с введением понятия фундаментальной группы . Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в криптографии , которая опирается на вычислительную теорию групп и знания в области алгоритмов .

Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как физика , химия и информатика .

• Целые числа по модулю ${\displaystyle n}$ — результатом сложения по модулю ${\displaystyle n}$ является остаток суммы при делении на ${\displaystyle n}$ . Множество целых чисел от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle n-1}$ образует группу с этой операцией. Нейтральный элемент — ${\displaystyle 0}$ , обратный элемент к ${\displaystyle a\neq 0}$ является число ${\displaystyle n-a\equiv -a{\pmod {n}}}$ . Наглядным примером такой группы

могут быть часы с циферблатом .

• Целые числа с операцией сложения. ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ — коммутативная группа с нейтральным элементом ${\displaystyle 0}$ . Целые числа с операцией умножения не будут образовывать группу. Замкнутость, ассоциативность и существование нейтрального элемента будет иметь место, но не выполнится аксиома о существовании обратного элемента. Например, ${\displaystyle a=2}$ , тогда ${\displaystyle a\cdot b=1}$ то есть ${\displaystyle b=1/2}$ . Обратный элемент не является целым числом .
• Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность, а нейтральным элементом является единица .
• Свободная группа с двумя образующими ( ${\displaystyle F_{2}}$ ) состоит из пустого слова (единица группы) и всех конечных слов из четырёх символов ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle a^{-1}}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b^{-1}}$ таких, что ${\displaystyle a}$ не появляется рядом с ${\displaystyle a^{-1}}$ и ${\displaystyle b}$ не появляется рядом с ${\displaystyle b^{-1}}$ . Операция умножения таких слов — это просто соединение двух слов в одно с последующим сокращением пар ${\displaystyle aa^{-1}}$ , ${\displaystyle a^{-1}a}$ , ${\displaystyle bb^{-1}}$ и ${\displaystyle b^{-1}b}$ .
• Симметрическая группа . Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой , или группой перестановок . Мощность конечной симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ для множества из ${\displaystyle n}$ элементов равна ${\displaystyle n!}$ . При ${\displaystyle n\geq 3}$ эта группа не является абелевой . Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы ( теорема Кэли ) .

• Циклические группы состоят из степеней ${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$ одного элемента ${\displaystyle a}$ . Элемент ${\displaystyle a}$ называется образующим циклической группы. Циклические группы всегда коммутативны. Примером такой группы являются уже упомянутые целые числа по сложению. Циклической будет группа, состоящая из ${\displaystyle n}$ комплексных корней из единицы , то есть группа комплексных чисел ${\displaystyle z}$ , удовлетворяющих условию ${\displaystyle z^{n}=1}$ и операции умножения комплексных чисел . Мультипликативная конечная группа ${\displaystyle (\mathrm {G} ,\cdot )}$ также является циклической. Например, ${\displaystyle 3}$ является образующим элементом группы ${\displaystyle \mathrm {G} }$ при ${\displaystyle n=5}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&\equiv 3{\pmod {5}}\\3^{2}&\equiv 4{\pmod {5}}\\3^{3}&\equiv 2{\pmod {5}}\\3^{4}&\equiv 1{\pmod {5}}\,\end{aligned}}}$

• Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы ${\displaystyle S_{48}}$ , элементы которой соответствуют преобразованиям кубика Рубика . Композиция двух преобразований снова является преобразованием, для каждого преобразования существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент .
• Группы Галуа . Были введены в математику для решения в радикалах полиномиальных уравнений от одной переменной. Например, решение квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ даёт корни: ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$ Подобные формулы есть для уравнений третьей и четвёртой степени, но не существуют для уравнений степени ${\displaystyle 5}$ и выше .

Простейшие свойства

• Для каждого элемента ${\displaystyle a}$ обратный элемент ${\displaystyle a^{-1}}$ единственен.
• Нейтральный элемент единственен:

  Если ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ — нейтральные, то ${\displaystyle e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1}}$ .

• ${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}$ .
• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$ .
• ${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}$ .
• ${\displaystyle e^{n}=e}$ , для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ .
• ${\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}$ .
• Верны законы сокращения :

  ${\displaystyle c\cdot a=c\cdot b\Leftrightarrow a=b}$ ,

  ${\displaystyle a\cdot c=b\cdot c\Leftrightarrow a=b}$ .

• Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент .
• Группа содержит единственное решение ${\displaystyle x}$ любого уравнения ${\displaystyle x\cdot c=b}$ или ${\displaystyle c\cdot x=b}$ ; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление» .
• Пересечение двух подгрупп группы ${\displaystyle \mathrm {G} }$ есть подгруппа группы ${\displaystyle \mathrm {G} }$ .
• Теорема Лагранжа : если ${\displaystyle \mathrm {G} }$ — группа конечного порядка ${\displaystyle g}$ , то порядок ${\displaystyle g_{1}}$ любой её подгруппы ${\displaystyle \mathrm {G_{1}} }$ является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы .
• Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова .

Способы задания группы

Группу можно задать:

• С помощью порождающего множества и набора соотношений между его элементами;
• Факторгруппой ${\displaystyle G/H}$ , где ${\displaystyle G}$ — некоторая группа и ${\displaystyle H}$ — её нормальная подгруппа ;
• Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
  • Прямым произведением двух групп ${\displaystyle (G,\cdot )}$ и ${\displaystyle (H,\cdot )}$ , то есть множеством ${\displaystyle G\times H}$ пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: ${\displaystyle (g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2})}$ ;
• Свободным произведением двух групп: свободное произведение групп ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ , a система соотношений есть объединение систем соотношений ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ .

История

Современное понятие группы сформировалось из нескольких областей математики. Первоначальной движущей силой теории групп были поиски решений алгебраических уравнений степени выше четырёх. Французский математик 19-го века Эварист Галуа , доработав исследования Руффини и Лагранжа , дал критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения с точки зрения группы симметрии его решений. Элементы такой группы Галуа соответствуют определённым перестановкам корней . Идеи Галуа были отвергнуты современниками и опубликованы посмертно Лиувиллем в 1846 году. Опираясь на те же работы, что и Галуа, Коши подробно исследовал группы перестановок . Впервые понятие конечной группы вводит Артур Кэли в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θ ⁿ = 1» ( англ. "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ ⁿ ${\displaystyle =}$ 1" ) .

Геометрия — вторая область, где группы применялись систематически, особенно группы симметрии как часть « Эрлангенской программы» немецкого математика Феликса Клейна . После возникновения новых разделов геометрии, таких как гиперболическая и проективная геометрии , Клейн использовал теорию групп для их лучшего согласования. Дальнейшее развитие этих идей приводит к введению понятия группы Ли в математику в 1884 году .

Третья область математики, поспособствовавшая развитию теории групп, — теория чисел . Некоторые абелевы группы были неявно использованы в работе Гаусса « Арифметические исследования » (1801). В 1847 году Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Великую теорему Ферма с помощью групп, описывающих разложения на простые числа. В 1870 году Кронекер обобщил работы Куммера и дал близкое к современному определение конечной абелевой группе .

Обособление теории групп началось с работы Камиля Жордана «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870) . В 20 веке теория групп начала активно развиваться. Появились на свет пионерская работа Фробениуса и Бёрнсайда о представлении конечных групп , модульная теория представлений Ричарда Браура и записи Шура . Значительных успехов в изучении теории групп Ли и локально компактных групп достигли Вейль и Картан . Алгебраическим дополнением этих теорий стала теория алгебраических групп , впервые сформулированная Клодом Шевалле , позднее упоминаемая в работах Бореля и Титса .

В 1960—61 учебном году в Чикагском университете проходил год теории групп, который собрал вместе таких теоретиков как Даниель Горенстейн, Джон Томпсон и Уолтер Фейт, тем самым заложив фундамент сотрудничества большого числа математиков, которые впоследствии вывели теорему о классификации всех простых конечных групп в 1980-х годах. Этот проект превысил по своим размерам все предыдущие попытки классифицировать группы, как по длине доказательств, так и по количеству учёных, вовлечённых в эту работу. Текущие исследования направлены на упрощение классификации групп. В настоящее время теория групп продолжает активно развиваться и оказывать влияние на остальные разделы математики .

Вариации и обобщения

• Группоид — множество с заданной на нём бинарной операцией .
• Квазигруппа — группоид , состоящий из некоторого множества ${\displaystyle Q}$ и бинарной операции ${\displaystyle \cdot }$ , такой что для любых ${\displaystyle a,b\in Q}$ найдутся единственные элементы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ , такие что ${\displaystyle a\cdot x=b}$ и ${\displaystyle y\cdot a=b}$ .
• Полугруппа — алгебраическая система с заданной на ней ассоциативной бинарной операцией. Множество натуральных чисел с операцией сложения образует полугруппу .
• Множество ${\displaystyle G}$ с заданной на нём бинарной операцией , удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом . Множество нeотрицательных целых чисел с операцией сложения образуют моноид .

Группы с дополнительной структурой

Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке теории категорий это — групповые объекты в категории ; иными словами, это — объекты (то есть, например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых морфизмами ), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является множеством , так что группа есть групповой объект в категории множеств Set (морфизмы в этой категории — отображения множеств) .

Кольца

Кольцо — множество ${\displaystyle K}$ , на котором определены бинарные операции коммутативного сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения К образует группу, а умножение связано со сложением дистрибутивным законом.

Кольцо называют коммутативным и ассоциативным , если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца ${\displaystyle 1}$ называется единицей, если выполнено условие: ${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}$ , где ${\displaystyle a}$ — любой элемент кольца.

Числовые множества Z , Q , R являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей. Множество векторов с операцией векторного умножения является антикоммутативным кольцом (то есть ${\displaystyle a\cdot b=-b\cdot a}$ ) в силу свойств векторного умножения : ${\displaystyle a\times b+b\times a=0}$ .

Поля

Поле — это коммутативное ассоциативное кольцо ${\displaystyle F}$ с единицей, причём относительно сложения ${\displaystyle F}$ образует группу, а ненулевые его элементы являются группой по умножению. Поле не может состоять из одного нуля. Множества рациональных и вещественных чисел являются полями. В любом поле ${\displaystyle a\cdot b=0}$ только при ${\displaystyle a=0}$ и/или ${\displaystyle b=0}$ .

Топологические группы

Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой .

Именно, топологическая группа — это группа, являющаяся одновременно топологическим пространством , причём умножение элементов группы ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ и операция взятия обратного элемента ${\displaystyle \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ оказываются непрерывными отображениями в используемой топологии . Топологические группы являются групповыми объектами в топологических пространствах Top .

Наиболее важные примеры топологических групп — это аддитивная группа вещественных чисел ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ , мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел ${\displaystyle (\mathbb {R^{*}} ,\cdot )}$ , полная линейная группа ${\displaystyle GL(n)}$ , специальная линейная группа ${\displaystyle SL(n)}$ , ортогональная группа ${\displaystyle O(n)}$ , специальная ортогональная группа ${\displaystyle SO(n)}$ , унитарная группа ${\displaystyle U(n)}$ , специальная унитарная группа ${\displaystyle SU(n)}$ .

Группы Ли

Группа Ли (в честь Софуса Ли ) — это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля вещественных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ и операция взятия обратного элемента ${\displaystyle \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений). При этом всякая комплексная ${\displaystyle n}$ -мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности ${\displaystyle 2n}$ .

Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.

Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий ; так, группу Ли образуют изометрии вида ${\displaystyle \mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E} }$ , где ${\displaystyle \mathrm {E} }$ — евклидово точечное пространство . Полученная группа, обозначаемая ${\displaystyle Is(\mathrm {E} )}$ , является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы пространства ${\displaystyle \mathrm {E} }$ , обозначаемой ${\displaystyle Aff(\mathrm {E} )}$ .

Группы Ли являются лучшими из многообразий в плане богатства имеющейся на них структуры и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии . Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике .

См. также

• Алгебраические структуры
• Словарь терминов теории групп
• Группа многогранника
• Группа Клейна

Примечания

Литература

Научная литература

• — 2-е изд. — М. : ИППИ РАН , 2010. — 320 с. — ISBN 978-5-901158-14-2
• Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
• Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.

Популярная литература

• Александров П. С. . — Т. 7. — ( ).
• Садовский Л., Аршинов М. // Квант . — 1976. — № 10 .
• Группа // / Сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика , 1985. — С. —94. — 352 с.