Разрешимая группа — группа , ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе .

Понятие возникло в теории Галуа в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Эквивалентные определения

Разрешимая группа — группа ${\displaystyle G}$ , такая что убывающий ряд

${\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,}$

в котором каждая следующая группа является коммутантом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.

Можно доказать, что если ${\displaystyle H}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G}$ , ${\displaystyle H}$ разрешима и факторгруппа ${\displaystyle G/H}$ разрешима, то ${\displaystyle G}$ разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:

Разрешимая группа — это группа, для которой существует хотя бы один субнормальный ряд , в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп ${\displaystyle \{1\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant \cdots \leqslant G_{k}=G}$ , такая что ${\displaystyle G_{j-1}}$ является нормальной подгруппой ${\displaystyle G_{j}}$ , и ${\displaystyle G_{j}/G_{j-1}}$ — абелева группа .

Свойства

• Разрешимость конечной группы эквивалентна существованию субнормального ряда, в котором все промежуточные факторы циклические конечного порядка . Последнее следует из теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп .
• Если две группы разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение ) разрешимо.
• Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешима .
• Согласно теореме Бёрнсайда , любая группа, порядок которой делится менее чем на три различных простых числа, разрешима.
• Согласно теореме Файта — Томпсона , конечная группа нечётного порядка разрешима.

Примеры

• Все абелевы группы и все нильпотентные группы разрешимы.
• Симметрическая группа ${\displaystyle S_{n}}$ является разрешимой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n\leqslant 4}$ .
• Группа невырожденных верхних треугольных матриц ${\displaystyle \mathbf {UT} _{n}}$ разрешима.
• Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
• Все группы порядка, меньшего чем 60, разрешимы. Неразрешимая группа наименьшего порядка — это знакопеременная группа ${\displaystyle A_{5}}$ порядка 60.

Примечания

Литература

• Rotman, Joseph J. An introduction to the theory of groups. — 4th ed. — Springer, 1995. — Т. 148. — (Graduate texts in mathematics). — ISBN 978-0-387-94285-8 .
• Мальцев А. И. Обобщённо нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Математический сборник . — 1949. — Т. 25 , №  3 . — С. 347—366 .

Ссылки

• Порядки неразрешимых групп — последовательность в OEIS