Понятие возникло в
теории Галуа
в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его
группа Галуа
разрешима.
Содержание
Эквивалентные определения
Разрешимая группа — группа
, такая что убывающий
ряд
в котором каждая следующая группа является
коммутантом
предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.
Можно доказать, что если
—
нормальная подгруппа
в
,
разрешима и
факторгруппа
разрешима, то
разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:
Разрешимая группа
— это группа, для которой существует хотя бы один
субнормальный ряд
, в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп
, такая что
является нормальной подгруппой
, и
—
абелева группа
.
Все группы порядка, меньшего чем 60, разрешимы. Неразрешимая группа наименьшего порядка — это знакопеременная группа
порядка 60.
Примечания
, p. 102.
Литература
Rotman, Joseph J.
An introduction to the theory of groups. — 4th ed. — Springer, 1995. — Т. 148. — (Graduate texts in mathematics). —
ISBN 978-0-387-94285-8
.