Знакопеременная группа перестановок (подстановок) степени
n
— подгруппа
симметрической группы
S
n
{\displaystyle S_{n}}
степени
n
{\displaystyle n}
, содержащая только
чётные
перестановки
.
Обычно обозначается
A
n
{\displaystyle A_{n}}
.
Свойства
Индекс подгруппы
знакопеременной группы в симметрической равен 2:
[
S
n
:
A
n
]
=
2.
{\displaystyle [S_{n}:A_{n}]=2.}
Знакопеременная группа является
нормальной подгруппой
симметрической группы
(следует из предыдущего утверждения).
Порядок
знакопеременной группы равен:
|
A
n
|
=
n
!
/
2.
{\displaystyle |A_{n}|=n!/2.}
Знакопеременная группа является
коммутантом
симметрической группы:
[
S
n
,
S
n
]
=
A
n
.
{\displaystyle [S_{n},S_{n}]=A_{n}.}
При
n
≥
5
{\displaystyle n\geq 5}
знакопеременная группа
A
n
{\displaystyle A_{n}}
является
простой
.
Знакопеременная группа
разрешима
тогда и только тогда, когда её порядок не больше 4. Точнее,
A
2
=
{
e
}
,
A
3
≅
Z
3
,
[
A
4
;
A
4
]
≅
V
4
{\displaystyle A_{2}=\{e\},A_{3}\cong \mathbb {Z} _{3},[A_{4};A_{4}]\cong V_{4}}
-
четверной группе Клейна
, а при
n
⩾
5
[
A
n
;
A
n
]
≅
A
n
{\displaystyle n\geqslant 5\ [A_{n};A_{n}]\cong A_{n}}
.
Группа
A
n
{\displaystyle A_{n}}
имеет
представление
A
n
=
⟨
s
3
,
.
.
.
,
s
n
|
(
s
i
)
3
=
1
,
(
s
i
s
j
)
2
=
1
(
3
⩽
i
≠
j
⩽
n
)
⟩
{\displaystyle A_{n}=\langle s_{3},...,s_{n}|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3\leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle }
здесь
s
i
→
(
12
i
)
{\displaystyle s_{i}\to (12i)}
.
Примечания