Interested Article - Четверная группа Клейна

Четверна́я гру́ппа Кле́йна — нециклическая конечная коммутативная группа четвёртого порядка , играет важную роль в общей алгебре, комбинаторике и геометрии. Обычно обозначается $V$ или $V_{4}$ (от нем. Vierergruppe — четверная группа). Впервые описана и исследована Феликсом Клейном в 1884 году .

Граф циклов четверной группы Клейна
Граф Кэли четверной группы Клейна

Бинарная операция между элементами $\{1,a,b,ab\}$ (единица — нейтральный элемент группы) задаётся следующей таблицей Кэли :

{\begin{array}{c||rrrr|}\cdot &1&a&b&ab\\\hline 1&1&a&b&ab\\a&a&1&ab&b\\b&b&ab&1&a\\ab&ab&b&a&1\\\end{array}}

Порядок каждого элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической . Является прямым произведением циклических групп второго порядка $C_{2}\times C_{2}$ ; наименьшей по порядку нециклической группой.

Является простейшей группой диэдра $D_{2}$ . Любая группа четвёртого порядка изоморфна либо циклической группе , либо четверной группе Клейна. Симметрическая группа $S_{4}$ имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы , лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу $A_{4}$ и четверную группу Клейна $V_{4}$ , состоящую из подстановок $(),(12)(34),(13)(24),(14)(23)$ .

Встречается во многих разделах математики, примеры изоморфных ей групп:

множество $\{0,1,2,3\}$ с операцией побитовое исключающее ИЛИ ;
приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7 и по модулю 12, состоящая из классов 1, 5, 7, 11;
группа симметрий ромба в трёхмерном пространстве, состоящая из 4 преобразований: тождественное, поворот на $180^{\circ }$ и два отражения относительно диагоналей .
группа поворотов тетраэдра на угол $\pi$ вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом) .

Примечания

, гл. 1 «Понятие группы», п. 2 «Вводные примеры», п. 4 «Клейновская группа четвёртого порядка», с. 23.
↑ В. Ф. Зайцев. п. 2, Дискретные группы преобразований // Введение в современный групповой анализ. — СПб. , 1996. — С. 10.
, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 3 «Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба», с. 71.
, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 4 «Группа поворотов правильного тетраэдра», с. 75.

Литература

П. С. Александров . Введение в теорию групп. — М. : Наука, 1980. — 144 с. с. — (Библиотечка Квант, вып. 7).
Ф. Клейн . Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. — М. : Наука , 1989. — 336 с.