Группы Фишера — это три спорадические группы , и , введённые Берндом Фишером .

Группа 3-перестановок

Группы Фишера названы именем , открывшего группы, когда он исследовал группы 3-перестановок. Это группы G со следующими свойствами:

• G генерируется классами сопряжённости элементов порядка 2, названными «перестановками Фишера» или .
• Произведение любых двух различных перестановок имеет порядок 2 или 3.

Типичным примером группы 3-перестановки служит симметрическая группа . Симметрическая группа S _n может быть сгенерирована n − 1 перестановкой — (12), (23), ..., ( n − 1, n ) .

Фишер смог классифицировать группы 3-перестановок, удовлетворяющих определённым дополнительным условиям. Группы, которые он обнаружил, распадаются большей частью на некоторые бесконечные классы (кроме симметрических групп, сюда входят некоторые классы симплектических групп, унитарная и ортогональная группы), а также нашёл 3 очень большие новые группы. Эти группы обычно обозначаются как Fi ₂₂ , Fi ₂₃ и Fi ₂₄ . Первые две из них являются простыми группами, а третья содержит простую группу Fi ₂₄ ′ с индексом 2.

Отправной точкой для групп Фишера является унитарная группа PSU ₆ (2), которую можно рассматривать как группу Fi ₂₁ в серии групп Фишера. Эта группа имеет порядок 9.196.830.720 = 2 ¹⁵ ⋅3 ⁶ ⋅5⋅7⋅11 . Фактически, двойное покрытие 2.PSU ₆ (2) становится подгруппой новой группы. Она является стабилизатором одной вершины в графе с 3510 (= 2⋅3 ³ ⋅5⋅13) вершинами. Эти вершины определяются как сопряжённые 3-перестановки в группе симметрии Fi ₂₂ графа.

Группы Фишера названы по аналогии с большими группами Матьё . В Fi ₂₂ максимальное множество 3-перестановок, коммутирующих друг с другом, имеет размер 22 и называется базисным множеством. Существует 1024 3-перестановки, называемых анабазисом , которые не коммутируют с любой перестановкой в выбранном базисном множестве. Любая перестановка из оставшихся 2364 перестановок, называемых шестивалентными , коммутирует с 6 базисными перестановками. Наборы из 6 перестановок образуют систему Штейнера S(3,6,22), группа симметрии которой — M ₂₂ . Базовое множество генерирует абелеву группу порядка 2 ¹⁰ , которая расширяется в Fi ₂₂ в подгруппу 2 ¹⁰ :M ₂₂ .

Следующая группа Фишера получается из 2.Fi ₂₂ как одноточечного стабилизатора графа с 31671 (= 3 ⁴ ⋅17⋅23) вершинами при интерпретации вершин как 3-перестановок в группе Fi ₂₃ . 3-перестановки имеют базовые множества размером 23, при этом 7 перестановок коммутируют с заданной внешней 3-перестановкой.

Следующая группа берёт Fi ₂₃ как одноточечный стабилизатор графа с 306936 (= 2 ³ ⋅3 ³ ⋅7 ² ⋅29) вершинами, чтобы образовать Fi ₂₄ . 3-Перестановки имеют базовые множества размером 24, при этом 8 перестановок среди 24 коммутируют с заданной внешней 3-перестановкой. Группа Fi ₂₄ не является простой, но её дочерняя подгруппа имеет индекс 2 и является спорадической простой группой.

Обозначение

Нет единого обозначения этих групп. Некоторые авторы используют F вместо Fi (F ₂₂ , например). Фишер использовал обозначения M(22), M(23) и M(24)′, чем подчёркивал их тесную связь с тремя наибольшими группами Матьё M ₂₂ , M ₂₃ и M ₂₄ .

Один из источников путаницы — Fi ₂₄ . Это обозначение иногда используется для обозначения простой группы Fi ₂₄ ′, а иногда — для полной группы 3-перестановок (вдвое большей).

Обобщённый Чудовищный вздор

Конвей и Нортон предложили в 1979 статью, в которой утверждается, что ^* не ограничивается группой «Монстр» и что похожие явления найдены для других групп. Ларисса Квин и другие обнаружили, что можно построить расширение многих Hauptmoduln (главных модулей) из простых комбинаций размерностей спорадических групп.

Примечания

Литература