Теорема Пэли — Винера — совокупность всех целых функций ${\displaystyle f(z)}$ экспоненциального типа ${\displaystyle \leq \sigma }$ , для которых ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|^{2}dx<\infty }$ совпадает с множеством функций ${\displaystyle f(z)}$ , допускающих представление ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\sigma }^{+\sigma }e^{izu}\phi (u)du}$ , где ${\displaystyle \phi (u)\in L^{2}(-\sigma ,+\sigma )}$ .

Пояснения

Целой функцией экспоненциального типа называется целая функция ${\displaystyle f(z)}$ , которая при любом ${\displaystyle z}$ удовлетворяет неравенству вида ${\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}$ , где числа A, B от z не зависят. Экспоненциальным типом функции ${\displaystyle f(z)}$ называется точная нижняя грань значений константы B, при котором имеет место это неравенство. Экспоненциальный тип находится по формуле ${\displaystyle \sigma ={\bar {\lim _{|z|\to \infty }}}{\frac {ln|f(z)|}{|z|}}}$ . Под ${\displaystyle L^{2}(-\sigma ,+\sigma )}$ понимают совокупность всех измеримых в интервале ${\displaystyle (-\sigma ,+\sigma )}$ функций, квадрат модуля которых интегрируем в смысле Лебега .

Теорема Пэли — Винера — Шварца для обобщенных функций

Если обобщенная функция ${\displaystyle F}$ сосредоточена в области ${\displaystyle G_{b}:|x|\leq b}$ , то её преобразованием Фурье является целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа ${\displaystyle \leq b}$ . Наоборот, пусть ${\displaystyle f(z)=f(z_{1},...z_{n})}$ — целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа ${\displaystyle \leq b}$ , которая возрастает при ${\displaystyle |x|\to \infty }$ не быстрее некоторой степени ${\displaystyle |x|^{q}}$ , и ${\displaystyle (f,\phi )=\int f(x)\phi (x)dx}$ — соответствующий этой функции функционал в пространстве ${\displaystyle Z}$ . Тогда преобразование Фурье ${\displaystyle {\hat {f}}}$ функционала ${\displaystyle f}$ сосредоточено в области ${\displaystyle G_{b}}$ .

См. также

• Аппроксимация функций
• Преобразование Фурье

Литература

1. Норберт Винер «Я-математик», М., 1964 г., 356 стр., тир. 50000 экз., В 48 51 (09) УДК 510 (092), гл. 8 «Снова дома 1932—1933», с. 160—168;
2. Винер Н. , Пэли Р. «Преобразование Фурье в комплексной области», М., Наука, 1964;
3. Н. И. Ахиезер «Лекции по теории аппроксимации», изд. 2-е, М., «Наука», 1965, 517.2 А 95 УДК 517.51, гл. 4 «Некоторые экстремальные свойства целых функций экспоненциального типа», п. 82 «Теорема Винера-Пэли», с. 179-82;
4. «Функциональный анализ», изд. 2, ред. С. Г. Крейн , гл. 10 «Обобщенные функции», п. 4 «Преобразование Фурье обобщенных функций», пп 7 «Теорема Пэли-Винера-Шварца», с 511;