Гру́ппа Галуа́ — группа , ассоциированная с расширением поля . Играет важную роль при исследовании расширений полей , в частности, в теории Галуа . Это понятие (в контексте группы перестановок корней многочлена ) ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году.

Определение

Пусть поле K является расширением Галуа поля P . Взаимно однозначное отображение ${\displaystyle f}$ поля K на себя называется автоморфизмом , если оно сумму переводит в сумму, а произведение — в произведение, то есть если для любых элементов ${\displaystyle a,b}$ поля K справедливы равенства

${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b),\ f(ab)=f(a)\cdot f(b).}$

Группой Галуа для данного расширения поля называется группа всех автоморфизмов поля K , сохраняющих элементы поля P : ${\displaystyle \forall a\in P\;f(a)=a}$ . Обычно обозначается как G ( K , P ) или Gal ( K , P ).

Свойства

• Группа Галуа конечного расширения конечна . Её порядок (число элементов) равен степени расширения [ K : P ].

Примеры

• Если расширенное поле совпадает с исходным, то группа Галуа содержит только один элемент: единицу (тождественный автоморфизм).
• Для расширения поля вещественных чисел до поля всех комплексных чисел группа Галуа содержит 2 элемента: единицу и комплексное сопряжение .
• Поле расширения ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}$ состоит из чисел вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$ , где a , b — рациональные числа . Группа Галуа здесь содержит 2 элемента: единицу и операцию, меняющую знак у 2-го слагаемого с ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ .
• Пусть p — простое число . Рассмотрим конечные поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ и ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ , первое из них естественным образом вложено во второе. Группа Галуа данного расширения — циклическая , она порождается автоморфизмом Фробениуса ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ .
• Группа Галуа алгебраического уравнения .

Рассмотрим алгебраическое уравнение четвёртой степени ${\displaystyle P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0}$ . Оно допускает следующие преобразования переменной x : ${\displaystyle y=1/x,\ y=x^{2},\ y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}$ . Для ${\displaystyle y=1/x}$ следует ${\displaystyle y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)/x^{4}}$ , то есть ${\displaystyle P(y)=P(x)/x^{4}}$ . Поэтому из ${\displaystyle P(x)=0}$ следует, что ${\displaystyle P(y)=0}$ . Это означает, что уравнение ${\displaystyle P(x)=0}$ допускает преобразование ${\displaystyle y=1/x}$ .

Для ${\displaystyle y=x^{2}}$ получается ${\displaystyle P(y)=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}$ . Деление этого уравнения на исходное ${\displaystyle P(x)}$ даёт ${\displaystyle P(y)=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)P(x)}$ . Таким образом, преобразование ${\displaystyle y=x^{2}}$ также допускается уравнением ${\displaystyle P(x)}$ .

Подобным же образом для преобразования ${\displaystyle y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}$ можно получить следующую формулу преобразования: ${\displaystyle P(y)=(x^{8}+3x^{7}+6x^{6}+9x^{5}+9x^{4}+7x^{3}+4x^{2}+x+1)P(x)}$ .

Докажем теперь, что уравнение ${\displaystyle P(x)}$ допускает бесконечную группу преобразований ${\displaystyle y=x^{n}}$ , где ${\displaystyle n}$ принимает все целые (положительные и отрицательные) значения, не кратные пяти. Для начала рассмотрим подстановку ${\displaystyle x^{4}=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}$ . Из этого равенства следует, что ${\displaystyle x^{5}=x\cdot x^{4}=-(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)=1,\ x^{6}=x\cdot x^{5}=x}$ , ..., ${\displaystyle x^{n}=x^{n-5}}$ . Для доказательства того, что уравнение ${\displaystyle P(x)}$ допускает бесконечную группу преобразований ${\displaystyle y=x^{n}}$ при ${\displaystyle 5\!\ \nmid n}$ , достаточно показать, что допускается преобразование ${\displaystyle y=x^{3}}$ . Для этого преобразования имеем: ${\displaystyle P(y)=x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=x^{2}+x^{4}+x+x^{3}+1=0}$ . Отрицательные целые значения ${\displaystyle n}$ получаются применением преобразования ${\displaystyle y=1/x}$ . Нетрудно доказать, что полученные преобразования образуют группу.

Построенная группа преобразований ${\displaystyle y=x^{n}}$ переводит каждый корень уравнения ${\displaystyle P(x)}$ в корень того же уравнения. Проследим теперь, как именно преобразуется каждый корень уравнения ${\displaystyle P(x)}$ под влиянием этой группы преобразований. Из курса алгебры известно, что корнями уравнения ${\displaystyle P(x)}$ являются числа ${\displaystyle x_{1}=z,\ x_{2}=z^{2},\ x_{3}=z^{3},\ x_{4}=z^{4},\ z=e^{2\pi i/5}}$ . Преобразование ${\displaystyle y=x^{2}}$ переводит корень ${\displaystyle x_{1}}$ в ${\displaystyle x_{2}}$ , корень ${\displaystyle x_{2}}$ в ${\displaystyle x_{4}}$ , корень ${\displaystyle x_{3}}$ в ${\displaystyle x_{1}}$ , корень ${\displaystyle x_{4}}$ в ${\displaystyle x_{3}}$ . Полученная подстановка обозначается ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{4},x_{3})}$ . Подобным образом можно показать, что преобразование ${\displaystyle y=x^{3}}$ приводит к подстановке ${\displaystyle (x_{1},x_{3},x_{4},x_{2})}$ . Преобразование ${\displaystyle y=x^{-1}}$ приводит к подстановке ${\displaystyle (x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})}$ . Остальные преобразования новых подстановок не дают.

Таким образом, группа преобразований ${\displaystyle y=x^{n}}$ корней уравнения ${\displaystyle P(x)}$ индуцирует конечную группу порядка четыре, состоящую из следующих элементов: ${\displaystyle 1,(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}),(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}),(x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})}$ . Эта конечная группа называется группой Галуа уравнения ${\displaystyle P(x)}$ .

• Пусть ${\displaystyle K_{n}}$ — поле деления круга степени n . Группа Галуа ${\displaystyle K_{n}/Q}$ изоморфна мультипликативной группе ${\displaystyle Z_{n}^{*}}$ кольца вычетов по модулю n .

Применение

Расширения полей

Рассмотрим цепочку последовательных расширений полей: ${\displaystyle L_{1}\subset L_{2}\subset \cdots \subset L_{n}.}$ Построим группу Галуа для полей, крайних в цепочке: ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L_{n},L_{1}).}$ Согласно основной теореме теории Галуа , каждому промежуточному полю ${\displaystyle L_{k}}$ в цепочке расширений соответствует подгруппа ${\displaystyle G_{k}}$ группы G , то есть цепочке расширений полей можно сопоставить цепочку вложенных подгрупп, которая сужается от G до тривиальной подгруппы . Если рассматривать сразу все промежуточные поля (то есть поля вида ${\displaystyle L_{1}\subset X\subset L_{n}}$ ), данное соответствие является биекцией из множества промежуточных полей в множество подгрупп группы Галуа. При этом подгруппы, соответствующие нормальным расширениям , являются нормальными подгруппами G , и обратно.

Это соответствие позволяет исследовать конечные расширения полей при помощи теории групп. Например, из него сразу следует, что число промежуточных полей для заданного нормального расширения всегда конечно (как число подгрупп в конечной группе).

Алгебраические уравнения

Основным полем алгебраического уравнения называется совокупность чисел, которые можно получить из коэффициентов этого уравнения при помощи операций сложения , вычитания , умножения и деления . Полем разложения называется совокупность чисел, которые можно получить с помощью конечного числа тех же операций, исходя из коэффициентов и корней уравнения. Основное поле в общем случае составляет лишь подполе поля разложения.

Принято группу Галуа, образуемую автоморфизмами поля разложения, называть группой Галуа этого уравнения . Любой автоморфизм из группы Галуа G ( K , P ) переводит каждый корень произвольного многочлена над полем P снова в корень этого же многочлена. Таким образом, группу Галуа любого алгебраического уравнения, не имеющего кратных корней , можно рассматривать как группу подстановок (именно так рассматривал её сам Эварист Галуа ).

Примечания

Литература

• Артин Э. Теория Галуа. — М. : МЦНМО, 2008. — ISBN 978-5-94057-062-2 .
• Постников М. М. Теория Галуа. — М. : Наука, 1963. — 220 с.