Кольца Борромео — зацепление , состоящее из трёх топологических окружностей , которые сцеплены и образуют брунново зацепление (то есть удаление любого кольца приведёт к разъединению двух оставшихся колец). Другими словами, никакие два из трёх колец не сцеплены, как в зацеплении Хопфа , тем не менее, все вместе они сцеплены.

Математические свойства

Несмотря на кажущуюся из иллюстраций естественность колец Борромео, из геометрически идеальных окружностей такое зацепление сделать невозможно . Также это можно увидеть, рассмотрев диаграмму узла : если предположить, что окружности 1 и 2 касаются в двух точках пересечения, то они лежат либо в одной плоскости, либо на сфере. В обоих случаях третья окружность должна пересекать эту плоскость или сферу в четырёх точках и не лежать на ней, что невозможно .

В то же время подобное зацепление можно осуществить с помощью эллипсов, причём Эксцентриситет этих эллипсов можно сделать сколь угодно малым. По этой причине тонкие кольца, сделанные из гибкой проволоки, можно использовать как кольца Борромео.

Зацепление

В теории узлов кольца Борромео являются простейшим примером бруннова зацепления — хотя любая пара колец не сцеплена , их нельзя расцепить.

Простейший способ это доказать — рассмотреть фундаментальную группу дополнения двух несцеплённых окружностей; по теореме Зейферта — ван Кампена это свободная группа с двумя образующими, a и b, а тогда третьему циклу соответствует класс коммутатора , [ a , b ] = aba ⁻¹ b ⁻¹ , что можно видеть из диаграммы зацепления. Этот коммутатор нетривиален в фундаментальной группе, а потому кольца Борромео сцеплены.

В существует аналогия между узлами и простыми числами , позволяющая прослеживать связи простых чисел. Тройка простых чисел (13, 61, 937) является связанной по модулю 2 (её равен −1), но попарно по модулю 2 эти числа не связаны (все символы Лежандра равны 1). Такие простые называются «правильными тройками Борромео по модулю 2» или «простыми Борромео по модулю 2».

Гиперболическая геометрия

Кольца Борромео являются примером — дополнение колец Борромео в 3-сфере допускает полную метрику с конечным объёмом. Каноническое разложение (Эпштейна — Пеннера) дополнения состоит из двух правильных октаэдров . Гиперболический объём равен 16Л(π/4) = 7.32772…, где Л — .

Связь с косами

Если рассечь кольца Борромео, получим одну итерацию обычного плетения косы . Обратно, если связать концы (одной итерации) обычной косы, получим кольца Борромео. Удаление одного кольца освобождает оставшихся два, и удаление одной ленты из косы освобождает две другие — они являются простейшими брунновым зацеплением и ^* соответственно.

В стандартной диаграмме зацепления кольца Борромео упорядочены в циклическом порядке . Если использовать цвета, как выше, красное будет лежать над зелёным, зелёное над синим, синее над красным, и при удалении одного из колец одно из оставшихся будет лежать над другим и они окажутся незацеплёнными. Так же и с косой: каждая лента лежит над второй и под третьей.

История

Название «кольца Борромео» появилось из-за их использования на гербе аристократической семьи Борромео в северной Италии . Зацепление много старше и появлялось в виде на картинных камнях викингов , которые датируются седьмым веком.

Кольца Борромео использовались в различных контекстах, таких как религия и искусство, для того чтобы показать силу единства. В частности кольца использовались как символ Троицы . Известно, что психоаналитик Жак Лакан нашёл вдохновение в кольцах Борромео как модели топологии человеческой личности, в которой каждое кольцо представляет фундаментальный компонент реальности («действительное», «воображаемое» и «символическое»).

В 2006 году Международный математический союз принял решение использовать логотип, основанный на кольцах Борромео, для XXV международного конгресса математиков в Мадриде , Испания .

Каменный столб в в Ченнаи , Тамилнад , Индия , датируемый шестым веком, содержит такую фигуру .

Частичные кольца

Известно много визуальных знаков, относящихся к средним векам и временам ренессанса, состоящих из трёх элементов, сцеплённых друг с другом тем же способом, что и кольца Борромео (в их общепринятом двумерном представлении), но индивидуальные элементы при этом не представляют замкнутых колец. Примерами таких символов служат рога на и полумесяцы Дианы де Пуатье . Примером знака с тремя различными элементами служит эмблема клуба Интернасьонал . Хоть и в меньшей степени, к этим символам относятся и диаграмма Венна из трёх элементов.

Также узел « обезьяний кулак », по существу, является трёхмерным представлением колец Борромео, хотя узел состоит из трёх уровней.

Большее количество колец

Некоторые соединения в теории узлов содержат множественные конфигурации колец Борромео. Одно соединение такого типа, состоящее из пяти колец, используется в качестве символа в дискордианизме , основанное на изображении из книги « Принципия Дискордия ».

Реализации

Молекулярные кольца Борромео — молекулярные аналоги колец Борромео, которые являются . В 1997 году биолог Мао Чэндэ (Chengde Mao) с соавторами из Нью-Йоркского университета успешно сконструировали кольца из ДНК . В 2003 году химик Фрейзер Стоддарт с соавторами из Калифорнийского университета , использовали комплексные соединения для построения набора колец из 18 компонентов за одну операцию .

Квантово-механический аналог колец Борромео называется ореолом или состоянием Ефимова (существование таких состояний было предсказано физиком Виталием Николаевичем Ефимовым в 1970 году). В 2006 году исследовательская группа Рудольфа Грима и Ганса-Кристофа Нэгерля из Института экспериментальной физики Инсбрукского университета (Австрия) экспериментально подтвердила существование таких состояний в ультрахолодном газе атомов цезия и опубликовала открытие в научном журнале Nature . Группа физиков под руководством Рандалла Хулета (Randall Hulet) в университете Райса в Хьюстоне получили тот же самый результат с помощью трёх связанных атомов лития и опубликовали своё открытие в журнале Science Express . В 2010 году группа под управлением К. Танака получила состояние Ефимова с нейтронами (нейтронный ореол) .

См. также

• Трикветр

Примечания

Литература

• Clara Moskowitz. Strange Physical Theory Proved After Nearly 40 Years // Live Science. — 2009. — Вып. December 16 .
• K. Tanaka. Observation of a Large Reaction Cross Section in the Drip-Line Nucleus ²² C // Physical Review Letters . — 2010. — Т. 104 , вып. 6 . — doi : .
• T. Kraemer, M. Mark, P. Waldburger, J. G. Danzl, C. Chin, B. Engeser, A. D. Lange, K. Pilch, A. Jaakkola, H.-C. Nägerl and R. Grimm. Evidence for Efimov quantum states in an ultracold gas of caesium atoms // Nature. — 2006. — Т. 440 , вып. 7082 . — doi : . — Bibcode : . — arXiv : . — .
• C. Mao, W. Sun, N. C. Seeman. Assembly of Borromean rings from DNA // Nature. — 1997. — Т. 386 . — doi : . — .
• Arul Lakshminarayan. Borromean Triangles and Prime Knots in an Ancient Temple. — Indian Academy of Sciences, 2007. — Вып. May .
• P. R. Cromwell, E. Beltrami and M. Rampichini, «The Borromean Rings», Mathematical Intelligencer Vol. 20 no. 1 (1998) 53-62.
• Michael H. Freedman, Richard Skora. Strange Actions of Groups on Spheres // Journal of Differential Geometry. — 1987. — Т. 25 . — С. 75–98 .
• Bernt Lindström, Hans-Olov Zetterström. // American Mathematical Monthly . — 1991. — Т. 98 , вып. 4 . — С. 340–341 . — doi : . — JSTOR . Статья объясняет, почему кольца Борромео не могут быть абсолютно круглыми
• R. Brown, J. Robinson. Borromean circles. Letter // American Mathematical Monthly . — 1992. — Вып. 4 (April) . — С. 376–377. . Статья показывает, что существуют , и эти квадраты были воплощены в скульптуре Джоном Робинсоном, который воплотил и этой структуры.
• W. W. Chernoff. (English summary) 15th British Combinatorial Conference (Stirling, 1995). // Discrete Math.. — 1997. — Т. 167/168 . — С. 197–204 . Статья рассматривает другие многоугольники.

Ссылки

• « », Dr Peter Cromwell’s website.
• Jablan, Slavik. « », Visual Mathematics .
• « », The Knot Atlas .
• « », The Encyclopedia of Science .
• « », Sculpture Maths .
  • « », Sculpture Maths .
• « » [w/video], International Mathematical Union
• Hunton, John (неопр.) . Numberphile . Brady Haran. Дата обращения: 20 мая 2015. Архивировано из 24 мая 2013 года.