Квантовое состояние — любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система . Чистое квантовое состояние может быть описано:

• В волновой механике — волновой функцией ,
• В матричной механике — вектором состояния , или полным набором квантовых чисел для определённой системы.

Эти описания математически равнозначны. В общем случае квантовое состояние ( смешанное ) принципиально не может быть описано волновой функцией и должно быть описано матрицей плотности , являющейся неотрицательным самосопряжённым оператором с единичным следом . Квантовые состояния можно интерпретировать как статистические ансамбли с некоторыми фиксированными квантовыми числами.

Векторы состояний

Для описания возможных состояний заданной квантовой системы применяется математический аппарат гильбертова пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ , позволяющий практически полностью описать всё, что может происходить с системой.

Для описания квантового состояния в этом случае вводится так называемый вектор состояния ( амплитуда состояния ), представляющий собой множество математических величин, которое полностью описывает квантовую систему. К примеру, множество 4 чисел { ${\displaystyle n\ }$ , ${\displaystyle \ell \ }$ , ${\displaystyle m_{\ell }\ }$ , ${\displaystyle m_{s}}$ } определяет состояние электрона в атоме водорода, и называются квантовыми числами электрона.

Подобная конструкция оказывается возможной благодаря принципу суперпозиции для квантовых систем. Он проявляется в том, что если существуют два возможных состояния квантовой системы, причём в первом состоянии некоторая наблюдаемая величина может принимать значения p ₁ , p ₂ , …, а во втором — q ₁ , q ₂ ,… , то существует и состояние, называемое их суперпозицией , в котором эта величина может принимать любое из значений p ₁ , p ₂ , …, q ₁ , q ₂ ,…. Количественное описание этого явления приведено .

Обозначения бра-кет

Будем обозначать вектор состояния, соответствующий состоянию ${\displaystyle \psi }$ , как ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ . Сопряжённый вектор , соответствующий состоянию ${\displaystyle \psi }$ , будем обозначать как ${\displaystyle \left\langle \psi \right|}$ . Скалярное произведение векторов ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ и ${\displaystyle \left|\phi \right\rangle }$ будем обозначать как ${\displaystyle \left\langle \phi |\psi \right\rangle }$ , а образ вектора ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ под действием оператора ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ будем обозначать ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left|\psi \right\rangle }$ . Символ ${\displaystyle \left\langle \psi \right|}$ называется бра (англ. bra ), а символ ${\displaystyle \psi }$ , как ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ — кет (англ. ket ). Подобные обозначения в целом согласуются с обозначениями обычной линейной алгебры , но более удобны в квантовой механике, так как позволяют более наглядно и коротко называть используемые векторы. Такие обозначения были впервые введены Дираком . Названия векторов образованы разбиением слова bracket (скобка) на две звучные части — bra и ket.

Математический формализм

Всякий ненулевой вектор из пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ соответствует некому чистому состоянию. Однако векторы, различающиеся лишь умножением на ненулевое комплексное число , отвечают одному физическому состоянию. Иногда полагают, что вектор состояния ${\displaystyle |\psi \rangle }$ обязан быть «нормирован на единицу»: ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ — любой ненулевой вектор приобретает это свойство, если разделить его на свою норму ${\displaystyle {\sqrt {\langle \psi |\psi \rangle }}}$ .

Если мы рассмотрим два различных состояния, то суперпозиции (всевозможные линейные комбинации ) пары соответствующих им векторов дадут двумерное линейное комплексное пространство. Соответственное множество физических состояний будет представлять двумерную поверхность — сферу Римана .

При рассмотрении квантовой системы, состоящей из двух подсистем, пространство состояний строится в виде тензорного произведения . Подобные системы, помимо комбинаций состояний своих подсистем, имеют также и сцепленные (запутанные) состояния.

«Количество состояний»

Если система имеет хотя бы два физически различных состояния, то мощность множества возможных векторов состояния (даже с точностью до умножения на комплексное число), разумеется, бесконечна. Однако под количеством состояний квантовой системы подразумевают количество линейно независимых состояний, то есть размерность пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ . Это вполне соответствует интуиции, поскольку описывает количество возможных исходов измерения ; к тому же при тензорном произведении (то есть построении составной системы) размерности пространств перемножаются.

В контексте рассмотрения замкнутой квантовой системы (то есть решения уравнения Шрёдингера ) под состояниями могут пониматься только стационарные состояния — собственные векторы гамильтониана , отвечающие различным уровням энергии . В случае конечномерного пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ и при отсутствии вырождения число уровней энергии (и соответствующих им состояний) будет равно размерности пространства.

Чистое состояние

Чистое состояние — это полностью указанное квантовое состояние. Если данный квантовый объект (например, какая-то элементарная частица) находится в чистом состоянии, это означает, что у нас есть вся информация о ней. Только чистые состояния полностью можно описать волновыми функциями .

См. также

• Плотность состояний
• Квантовая наблюдаемая

Литература

• Березин Ф. А. , Шубин М. А. Уравнение Шрёдингера. М.: Изд-во МГУ, 1983. 392 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c. Глава IV.
• от 11 ноября 2007 на Wayback Machine
• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М. : Наука , 1989. — 768 с. — (« Теоретическая физика », том III). — ISBN 5-02-014421-5 .
• Isham, Chris J. . — , 1995.
• Bratteli, Ola. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1 / Ola Bratteli, Robinson, Derek W. — Springer, 1987. — ISBN 2nd edition.
• Bengtsson I. Geometry of Quantum States / Bengtsson I, Życzkowski K. — Cambridge : Cambridge University Press, 2006.