Материа́льная то́чка ( материа́льная части́ца , то́чечная ма́сса ) — обладающее массой тело , размерами, формой , вращением и внутренней структурой которого можно пренебречь в условиях исследуемой задачи. Является простейшей физической моделью в механике . Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки и задаётся радиус-вектором ${\displaystyle \mathbf {r} }$ .

В классической механике масса материальной точки полагается постоянной во времени и не зависящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами .

При аксиоматическом подходе к построению классической механики в качестве одной из аксиом принимается : «Материальная точка — геометрическая точка, которой поставлен в соответствие скаляр , называемый массой: ${\displaystyle (\mathbf {r} ,m)}$ , ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — вектор в евклидовом пространстве, отнесённом к какой-либо декартовой системе координат. Масса полагается постоянной, не зависящей ни от положения точки в пространстве, ни от времени».

Если тело участвует только в прямолинейном движении , то для определения его положения достаточно одной координатной оси.

Использование

Модель материальной точки используется (нередко неявно) в большом числе учебных и практических задач. Среди таковых — упражнения на нахождение параметров движения автомобилей из пункта А в пункт B, анализ траектории брошенного под углом к горизонту камня, рассмотрение соударения материальных частиц, изучение поведения тел в центральном гравитационном или электростатическом поле.

В курсах механики выделяются специальные разделы « кинематика точки » и « динамика точки » .

Во многих ситуациях модель материальной точки выступает частью более сложной модели. Так, математический маятник представляет собой колеблющуюся в однородном поле тяжести материальную точку на невесомой нити или стержне, а идеальный газ является моделью молекулярной системы из не взаимодействующих между собой материальных точек (эти ситуации показаны на рисунке справа).

При анализе характеристик объёмного тела (таких как импульс , момент инерции , создаваемые поля́ ) используют приём его мысленного разбиения на малые куски , которые считаются материальными точками, с последующим суммированием по ним. Скажем, момент инерции относительно оси находится как сумма ${\displaystyle \sum m_{i}r_{\bot ,i}^{2}}$ по всем кусочкам тела, где ${\displaystyle r_{\bot ,i}}$ — кратчайшее расстояние от ${\displaystyle i}$ -го фрагмента массой ${\displaystyle m_{i}}$ до оси.

Особенности

Применимость модели материальной точки к конкретному телу зависит не столько от размеров самого тела, сколько от условий его движения и характера решаемой задачи. Скажем, при описании движения Земли вокруг Солнца она вполне может рассматриваться как материальная точка, а при анализе суточного вращения Земли использование такой модели недопустимо.

Важным случаем применения модели является ситуация, когда собственные размеры тел значительно меньше иных фигурирующих в задаче размеров. Так, выражение для силы гравитационного притяжения двух объёмных объектов любых форм с увеличением расстояния между этими объектами всегда переходит в известный закон взаимодействия точечных масс .

В соответствии с теоремой о движении центра масс системы , при поступательном движении любое твёрдое тело можно считать материальной точкой, положение которой совпадает с центром масс тела.

Масса, положение, скорость и некоторые другие физические свойства материальной точки в каждый конкретный момент времени полностью определяют её поведение.

Следствия

Механическая энергия может быть запасена материальной точкой лишь в виде кинетической энергии её движения в пространстве и (или) потенциальной энергии взаимодействия с полем. Это автоматически означает неспособность материальной точки к деформациям (материальной точкой может быть названо лишь абсолютно твёрдое тело ) и вращению вокруг и изменениям направления этой оси в пространстве. Вместе с этим модель, описывающая движение тела как движение материальной точки, при котором изменяются её расстояние от некоторого поворота и два угла Эйлера (задающие направление линии «центр — точка»), чрезвычайно широко используется во многих разделах механики.

Плотность [кг/м ³ ] для материальной точки, положение которой задано радиус-вектором ${\displaystyle \,{\vec {r}}_{0}=x_{0}{\vec {i}}+y_{0}{\vec {j}}+z_{0}{\vec {k}}\,}$ ( ${\displaystyle {\vec {i}}}$ , ${\displaystyle {\vec {j}}}$ , ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — орты ), можно записать как ${\displaystyle \rho ({\vec {r}})=m\cdot \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})=m\cdot \delta (x-x_{0})\delta (y-y_{0})\delta (z-z_{0})}$ . Здесь ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle z}$ — декартовы координаты, а ${\displaystyle \delta }$ — дельта-функция (одномерная если её аргументом выступает разность координат, или трёхмерная если радиус-векторов); при этом интеграл по всему пространству ${\displaystyle \int \rho ({\vec {r}})dV}$ равен массе точки ${\displaystyle m}$ . Плотность бесконечна в месте нахождения точки и равна нулю в остальном пространстве.

Свободные/несвободные точки

Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими-либо механическими связями , называется свободной . Примерами свободных материальных точек являются искусственный спутник Земли на околоземной орбите и летящий самолёт (если пренебречь их вращениями).

Материальная точка, свобода перемещения которой ограничена наложенными связями, называется несвободной . Примером несвободной материальной точки является движущийся по рельсам трамвай (если пренебречь его формой и размерами).

Ограничения

Ограниченность сферы применения понятия о материальной точке видна из такого примера: в разреженном газе при высокой температуре размер каждой молекулы очень мал по сравнению с типичным расстоянием между молекулами. Казалось бы, им можно пренебречь и считать молекулу материальной точкой. Однако это не всегда так: колебания и вращения молекулы — важный резервуар «внутренней энергии» молекулы, «ёмкость» которого определяется размерами молекулы, её структурой и химическими свойствами . В хорошем приближении как материальную точку можно иногда рассматривать одноатомную молекулу ( инертные газы , пары ́ металлов и др.), но даже у таких молекул при достаточно высокой температуре наблюдается возбуждение электронных оболочек за счёт соударений молекул, с последующим высвечиванием.

Примечания