Квантовая механика
История Математические основы
Основа Классическая механика Постоянная Планка Интерференция Бра и кет Гамильтониан Старая квантовая теория
Фундаментальные понятия Квантовое состояние Квантовая наблюдаемая Волновая функция Квантовая суперпозиция Квантовая запутанность Смешанное состояние Измерение Неопределённость Принцип Паули Дуализм Декогеренция Симметрия Теорема Эренфеста Туннельный эффект
Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера Опыт Франка — Герца Опыт Штерна — Герлаха Опыт Юнга Квантовый ластик Квантовый ластик с отложенным выбором Проверка неравенств Белла Фотоэффект Эффект Комптона
Формулировки Представление Шрёдингера Представление взаимодействия Представление фазового пространства Матричная квантовая механика Интегралы по траекториям Диаграммы Фейнмана
Уравнения Шрёдингера Паули Клейна — Гордона Дирака Швингера — Томонаги фон Неймана Блоха Линдблада Гейзенберга
Интерпретации Копенгагенская Теория скрытых параметров Супердетерминизм Многомировая Теория де Бройля — Бома
Развитие теории Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама Квантовая хромодинамика Стандартная модель Квантовая гравитация
Сложные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая гравитация Теория всего
Известные учёные Планк Эйнштейн Шрёдингер Гейзенберг Йордан Бор Паули Дирак Фок Борн де Бройль Ландау Фейнман Бом Эверетт
См. также История возникновения ЭПР-парадокс
См. также: Портал:Физика

Представление Гейзенберга — один из способов описания квантовомеханических явлений , в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причём вектор состояния от времени не зависит.

Описание представления Гейзенберга

Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор ${\displaystyle {\hat {A}}}$ , а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ . В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит, а эволюция системы описывается уравнением:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {A}}_{H}(t)]+{\frac {\partial {\hat {A}}_{H}}{\partial t}},}$

где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.

Связь между операторами в представлении Шрёдингера и Гейзенберга

Пусть ${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$ - оператор в представлении Шрёдингера, а ${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)}$ - оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием:

${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}),}$

где ${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})}$ - оператор эволюции:

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}}$

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})={\overline {T}}\left\{\exp \left({{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t_{0}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t<t_{0}}$

где ${\displaystyle T,{\overline {T}}}$ - операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{0})}\right),}$

и унитарное преобразование принимает вид:

${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t)e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.}$

Переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга

Вектор состояния, в представлении Шрёдингера, удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

${\displaystyle {\hat {H}}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,}$

где ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$ - оператор Гамильтона .

Введем оператор эволюции ${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})}$ , который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle .\qquad (2)}$

Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}{\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}),\qquad (3)}$

${\displaystyle {\hat {S}}(t_{0},t_{0})={\hat {I}},}$

где ${\displaystyle {\hat {I}}}$ - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.}$

Теперь рассмотрим среднее значение оператора ${\displaystyle {\hat {A}}}$ некоторой наблюдаемой величины:

${\displaystyle \langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}(t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {A}}_{H}(t)|\Psi (t_{0})\rangle .}$

Таким образом, оператор ${\displaystyle {\hat {A}}}$ в представлении Гейзенберга определяется формулой:

${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}).\qquad (4)}$

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то

${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t)e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.}$

Продифференцируем формулу ${\displaystyle (4)}$ по времени и используем уравнение ${\displaystyle (3)}$ , тогда получим уравнение движения операторa ${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$ в Гейзенберговском представлении:

${\displaystyle {d \over dt}{\hat {A}}_{H}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}}(t),{\hat {A}}_{H}(t)]+{\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{H}(t),\qquad (5)}$

где частная производная обозначает явную зависимость оператора ${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$ от времени.

Пример. Квантовый гармонический осциллятор.

Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:

${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega ({\hat {a}}_{H}^{\dagger }{\hat {a}}_{H}+1/2).}$

Так как операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шрёдингера, то уравнение ${\displaystyle (5)}$ перепишется в виде

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}{\hat {a}}_{H}(t)=-\hbar \omega [{\hat {a}}_{H}^{\dagger }{\hat {a}}_{H}+1/2,{\hat {a}}_{H}(t)],}$

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}{\hat {a}}_{H}(t)=\hbar \omega {\hat {a}}_{H}(t),}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{H}(t)={\hat {a}}e^{-i\omega (t-t_{0})},}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{H}^{\dagger }(t)={\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega (t-t_{0})},}$

где были использованы (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения ${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]_{\mp }=1.}$

Применение

Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.

См. также

• Квантовая механика
• Представление Шрёдингера
• Представление взаимодействия
• Уравнение Шрёдингера
• Волновая функция
• Оператор (физика)

Литература

• Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга // Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1980. — С. 55-56.
• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М. : Физматлит , 2004. — 800 с. — (« Теоретическая физика », том III). — ISBN 5-9221-0530-2 . Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
• Параграф 10. Представление Гейзенберга. Глава VIII // Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — С. 306-307.
• Параграф 3.4. Гейзенберговская картина // Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. — М.: Мир, 1989. — С. 154-155.
• Сербо В. Г., Хриплович И. Б. Квантовая механика: Учебное пособие. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 2008. — 274 c. — ISBN 978-5-94356-642-4

Ссылки

• — статья из Физической энциклопедии