Асимпто́та , или аси́мптота (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью) — прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность . Термин впервые появился у Аполлония Пергского , хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед .

Виды асимптот графиков

Вертикальная

Прямая вида ${\displaystyle x=a}$ является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty }$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty }$ .

Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке ${\displaystyle a}$ . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Горизонтальная и наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида ${\displaystyle y=kx+b}$ , если выполняется хотя бы одно из равенств:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=b}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=b}$ .

При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при ${\displaystyle x\to +\infty }$ , а если второе, то асимптотой при ${\displaystyle x\to -\infty }$ .

Если ${\displaystyle k=0}$ , то асимптота также называется горизонтальной .

Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при ${\displaystyle x\to +\infty }$ и одна при ${\displaystyle x\to -\infty }$ , но она может быть одна или их вовсе может не быть.

Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в .

Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности .

Нахождение асимптот

Порядок нахождения асимптот

1. Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть ${\displaystyle \pm \infty }$ ).
2. Проверка, не являются ли конечными пределы ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=b}$ и ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=b}$ . Если да, то существует горизонтальная асимптота ${\displaystyle y=b}$ при ${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$ соответственно.
3. Нахождение двух пределов ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=k}$
4. Нахождение двух пределов ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)=b}$ , если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен ${\displaystyle \pm \infty }$ ), то наклонной асимптоты при ${\displaystyle x\to +\infty }$ (или ${\displaystyle x\to -\infty }$ ) не существует.

Наклонная асимптота — выделение целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция ${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1}}}$ .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: ${\displaystyle f(x)=2x+5+{\frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)\cdot {\frac {x+2}{x^{2}+1}}}$ .

При ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ , ${\displaystyle {\frac {x+2}{x^{2}+1}}\to 0}$ ,

и ${\displaystyle y=2x+5}$ является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.

Свойства

• Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы . Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса , лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости . Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

См. также

• Асимптотическая кривая

Примечания

Литература

• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
• Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.

Ссылки

• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
• Асимптота / Э. Г. Позняк // Ангола — Барзас. — М. : Советская энциклопедия, 1970. — ( Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 2).