Кардио́ида ( греч. καρδία — сердце, греч. εἶδος — вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности , катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом . Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца .

Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля , эпициклоиды и синусоидальной спирали .

Уравнения

Пусть ${\displaystyle a}$ — радиусы окружностей, начало координат находится в крайней правой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности (см. рисунок). Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах :

• В прямоугольных координатах :

  ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+2ax)^{2}-4a^{2}(x^{2}+y^{2})\,=\,0}$

• В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

  ${\displaystyle x=2a\cos t-a\cos 2t}$

  ${\displaystyle y=2a\sin t-a\sin 2t}$

• В полярных координатах :

  ${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )}$

Свойства

• Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля
• Кардиоида является частным случаем синусоидальной спирали
• Кардиоида — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Кардиоида имеет один касп .
• Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой в полярных координатах

${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )}$

равна:

${\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2}}}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos \varphi )}}\;d\varphi =8a\int _{0}^{\pi }\sin({\tfrac {\varphi }{2}})d\varphi =16a}$

• Площадь фигуры , ограниченной кардиоидой, заданной формулой в полярных координатах

${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )}$

равна:

${\displaystyle S=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}\pi =6\pi a^{2}}$ .

Радиус кривизны любой линии:

${\displaystyle \rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r}}(\varphi )^{2}\right]^{3/2}}{r(\varphi )^{2}+2{\dot {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi ){\ddot {r}}(\varphi )}}\ .}$

Что даёт для кардиоиды заданной уравнением в полярных координатах:

${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}},}$

${\displaystyle \rho (\varphi )=\cdots ={\frac {[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}]^{\frac {3}{2}}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac {\varphi }{2}}\ .}$

Обобщение

• Кардиоида есть Синусоидальная спираль при ${\displaystyle \textstyle n={\frac {1}{2}}}$ ;
• Кардиоида есть Улитка Паскаля при ${\displaystyle a=\ell }$ .

История

Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре ( Louis Carrè , 1705 г.). Название кривой дал в 1741 году Джованни Сальвемини ди Кастиллоне (он упоминается также как Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon ).

« Спрямление », то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир ( Philippe de La Hire ), который открыл кривую независимо, в 1708 году. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма ( J. Koersma , 1741 год). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII—XIX веков.

См. также

• Пространственная кардиоида
• Стержень Витгенштейна

Примечания

Литература

• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения (справочное руководство). — М. : Физматлит, 1960. — С. 230—233. — 293 с. . Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7 .
• Кардиоида // / Сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика , 1985. — С. —131. — 352 с.