Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой . Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции .

Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году. Несмотря на это, в прессе и даже в некоторых научных журналах время от времени публикуются ошибочные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

Невозможность построения

П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что трисекция угла ${\displaystyle \alpha }$ разрешима только тогда, когда уравнение

${\displaystyle x^{3}-3x-2\cos \alpha =0.}$

разрешимо в квадратных радикалах .

Например,

• Трисекция осуществима для углов вида ${\displaystyle {2\pi \over n},}$ если целое число ${\displaystyle n}$ не делится на 3.
• Трисекция острого угла прямоугольного треугольника с целыми сторонами, длины которых выражаются взаимно простыми числами, осуществима тогда и только тогда, когда гипотенуза является кубом целого числа .

Построения с помощью дополнительных средств

• Хотя трисекция угла в общем случае невыполнима с помощью циркуля и линейки, существуют кривые , с помощью которых это построение можно выполнить. Улитка Паскаля или трисектриса, квадратриса (в древности тоже называлась трисектрисой), конхоида Никомеда , конические сечения , спираль Архимеда .
• Трисекция возможна при построении с помощью плоского оригами .

Трисекция угла при помощи невсиса

Следующее построение с помощью невсиса предложено Архимедом .

Предположим, что имеется угол ${\displaystyle \alpha =POM}$ (рис. 1). Необходимо построить угол ${\displaystyle \beta }$ , величина которого втрое меньше данного: ${\displaystyle \alpha =3\beta }$ .

Построим окружность произвольного радиуса ${\displaystyle a}$ с центром в точке ${\displaystyle O}$ . Пусть стороны угла пересекаются с окружностью в точках ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle M}$ . Продолжим сторону ${\displaystyle OM}$ исходного угла. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему ${\displaystyle a}$ , и используя прямую ${\displaystyle OM}$ в качестве направляющей, точку ${\displaystyle P}$ в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок ${\displaystyle AB}$ . Получим угол ${\displaystyle PAM}$ , равный одной трети исходного угла ${\displaystyle \alpha }$ .

Доказательство

Рассмотрим треугольник ${\displaystyle ABO}$ (рис. 2). Так как ${\displaystyle AB=BO=a}$ , то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны: ${\displaystyle \angle BAO=\angle BOA=\beta }$ . Угол ${\displaystyle \angle PBO}$ как внешний угол треугольника ${\displaystyle ABO}$ равен ${\displaystyle 2\beta }$ .

Треугольник ${\displaystyle BPO}$ также равнобедренный, углы при его основании равны ${\displaystyle 2\beta }$ , а угол при вершине ${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-4\beta }$ . С другой стороны, ${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\beta -\alpha }$ . Следовательно, ${\displaystyle 180^{\circ }-4\beta =180^{\circ }-\beta -\alpha }$ , а значит, ${\displaystyle \alpha =3\beta }$ .

См. также

• Улитка Паскаля
• Математика в Древней Греции
• Теорема Морлея — свойство трисектрис углов треугольника.
• Невсис — метод построения, позволяющий выполнить трисекцию угла (не является решением задачи в классической постановке, так как вместо циркуля использует скользящую около полюса линейку).

Примечания

Литература

• Белозёров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов н/Д. , 1975.
• История математики / Под ред. А. П. Юшкевича . — М. : Наука, 1970. — Т. 1. С древнейших времен до начала Нового времени.
• Прасолов В. В. . — М. : Наука, 1992. — Т. 62. — 80 с. — ( Популярные лекции по математике ).
• Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. — М. : Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. — С. 29—45. — 96 с. .
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. — 2008. — № 4 (48) . — С. 3—15 .
• Карпов Николай. (рус.) // В.О.Ф.Э.М. . — 1891. — № 130 . — С. 218—219 .