Пространство модулей в алгебраической геометрии — это геометрическое пространство (например, схема , или пространство), точки которого соответствуют некоторому классу алгебро-геометрических объектов ${\displaystyle A}$ , факторизованному по некоторому отношению эквивалентности ${\displaystyle R}$ . Такие пространства часто возникают как решения классификационных задач: если множество интересующих нас объектов (например, гладких алгебраических кривых рода ${\displaystyle g}$ , рассматриваемых с точностью до изоморфизма ), может быть снабжено структурой геометрического пространства, то можно параметризовать данные объекты, введя координаты на этом пространстве. В данном контексте термин «модули» синонимичен термину «параметры»: пространства модулей первоначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов.

История

Теория модулей возникла при изучении эллиптических функций : существует семейство различных полей эллиптических функций (или их моделей — неизоморфных эллиптических кривых над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ), параметризованное комплексными числами. Бернхард Риман , которому принадлежит и сам термин «модули», показал, что компактные римановы поверхности рода ${\displaystyle g\geqslant 2}$ зависят от ${\displaystyle 3g-3}$ комплексных параметров — модулей .

Определения

Пусть ${\displaystyle S}$ — некоторая схема (комплексное или алгебраическое пространство). Семейство объектов, параметризованное схемой ${\displaystyle S}$ (или, как часто говорят, над ${\displaystyle S}$ или с базой ${\displaystyle S}$ ) — это набор объектов ${\displaystyle \{X_{s}|s\in S,X_{s}\in A\}}$ , снабжённый дополнительной структурой, согласованной со структурой базы ${\displaystyle S}$ . Эта структура в каждом конкретном случае задаётся явно. Функтор модулей (или функтор семейств ) — это контравариантный функтор ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ из категории схем (или пространств) в категорию множеств, определяемый следующим образом: ${\displaystyle {\mathcal {M}}(S)}$ — множество классов изоморфных семейств над ${\displaystyle S}$ , а морфизму ${\displaystyle f:S\to T}$ сопоставляется отображение ${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {M}}(T)\to {\mathcal {M}}(S)}$ посредством взятия индуцированного семейства.

Если функтор модулей ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ представим с помощью схемы (или пространства) ${\displaystyle M}$ , то ${\displaystyle M}$ называется тонким пространством модулей для функтора ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ . В этом случае существует универсальное семейство ${\displaystyle U}$ с базой ${\displaystyle M}$ , то есть произвольное семейство ${\displaystyle T}$ с базой ${\displaystyle S}$ индуцируется семейством ${\displaystyle U}$ при помощи единственного отображения ${\displaystyle f:S\to M}$ .

Функтор модулей представим в очень немногих случаях, в связи с чем было введено также понятие грубого пространства модулей . Схема ${\displaystyle M}$ называется грубым пространством модулей для функтора ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ . если существует естественное преобразование ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M)}$ , такое, что

1. если ${\displaystyle K}$ — алгебраически замкнутое поле , то отображение ${\displaystyle \varphi (\mathrm {Spec} \,K):{\mathcal {M}}(\mathrm {Spec} \,K)\to \mathrm {Hom} (\mathrm {Spec} \,K,M)}$ биективно;
2. для произвольной схемы ${\displaystyle M'}$ и естественного преобразования ${\displaystyle \varphi ':{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle \pi :M\to M'}$ , такой, что для ассоциированного естественного преобразования ${\displaystyle \Pi :\mathrm {Hom} (\cdot ,M)\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')}$ выполняется ${\displaystyle \varphi =\Pi \circ \varphi '}$ .

Интуитивно, замкнутые точки грубой схемы модулей соответствуют элементам ${\displaystyle A/R}$ , а геометрия этой схемы отражает то, каким образом объекты класса ${\displaystyle A}$ могут варьироваться в семействах. С другой стороны, над грубой схемой модулей может уже не существовать универсального семейства.

Примеры

Кривые

Пусть ${\displaystyle A/R=\mathbf {M} _{g}}$ (соответственно, ${\displaystyle {\overline {\mathbf {M} _{g}}}}$ ) — множество классов изоморфных проективных гладких связных кривых (соответственно, ) рода ${\displaystyle g\geqslant 2}$ над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle K}$ . Семейство над ${\displaystyle S}$ — это гладкий (плоский) собственный морфизм ${\displaystyle f:X\to S}$ , слоями которого являются гладкие (стабильные) кривые рода ${\displaystyle g}$ . Тогда существует грубая схема модулей ${\displaystyle M_{g}}$ (соответственно, ${\displaystyle {\overline {M_{g}}}}$ ), являющаяся квазипроективным (проективным) неприводимым и нормальным многообразием над ${\displaystyle K}$ .

Векторные расслоения

Пусть ${\displaystyle A/R}$ — множество классов изоморфных векторных расслоений ранга ${\displaystyle n}$ на алгебраическом многообразии ${\displaystyle X}$ . Семейство над ${\displaystyle S}$ — это векторное расслоение на ${\displaystyle X\times S}$ . В случае, когда ${\displaystyle X}$ — это неособая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем, существует нормальное проективное многообразие ${\displaystyle {\overline {M_{d,n}}}}$ , являющееся грубым пространством модулей полустабильных векторных расслоений ранга ${\displaystyle n}$ и степени ${\displaystyle d}$ на ${\displaystyle X}$ . Стабильные векторные расслоения параметризуются открытым гладким подмногообразием ${\displaystyle M_{d,n}\subset {\overline {M_{d,n}}}}$ . Если ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle n}$ взаимно просты, ${\displaystyle M_{d,n}}$ совпадает с ${\displaystyle {\overline {M_{d,n}}}}$ и является тонким пространством модулей .

Примечания

Литература

• Модулей теория — статья из Математической энциклопедии . В. А. Исковских
• Дж. Харрис, Я. Моррисон. Модули кривых. Вводный курс / пер. с англ. под ред. С. К. Ландо. — Москва: Мир, 2004.
• К. Оконек, М. Шнайдер, Х. Шпиндлер. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах / пер. с англ. под ред. Ю. И. Манина. — Москва: Мир, 1984.