Волны Рэлея распространяются вблизи поверхности твердого тела.
Фазовая скорость
таких волн направлена параллельно поверхности. Частицы среды в такой волне совершают эллиптическое движение в
сагиттальной плоскости
(в которой лежат вектор скорости и нормали к поверхности). Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности по экспоненциальным законам и энергия волны сосредоточена в области на расстоянии порядка длины волны от поверхности
.
Волна Рэлея в изотропном теле
Уравнение движения
бесконечно малого объёма
однородной, изотропной и идеально упругой среды с плотностью ρ можно записать в виде:
(1)
где
U
— смещение бесконечного малого объёма относительно равновесного положения, λ и μ —
упругие постоянные
, Δ —
оператор Лапласа
. Для данного
волнового уравнения
решения ищутся в виде суперпозиции поперечных и продольных смещений
U
=
U
t
+
U
l
, где
U
l
=grad φ и
U
t
=rot
ψ
. φ и
ψ
— скалярный и векторный потенциалы. Уравнение (
) для новых неизвестных представляет собой волновые уравнения для независимых компонент смещений
:
(2.1)
(2.2)
Если волна распространяется по оси x, то можно рассмотреть для изотропного случая только колебания в плоскости (x, z). Принимая во внимание независимость компонент от y для плоской гармонической волны, волновые уравнения для потенциалов примут вид:
(3.1)
(3.2)
где
— волновые числа для продольных и поперечных волн. Решения этих уравнений, если взять только затухающие решения представляются в виде плоских волн
:
(4.1)
(4.2)
где
;
;
;
A
и
B
— произвольные постоянные. Эти решения представляют собой общее решение волнового уравнения для затухающей волны, а для нахождения частного решения нужно задать граничные условия на поверхности среды.
Компоненты смещения представляются в виде:
(5.1)
(5.1)
В случае свободной границы значение компонентов
тензора напряжений
принимают нулевые значение:
(6.1)
(6.2)
После подставления решений (
) получится однородная система линейных уравнений относительно амплитуд
A
и
B
, которая имеет нетривиальное решение только если детерминант системы равен нулю (
уравнение Рэлея
), а именно
:
(6)
где
,
.
Это уравнение имеет единственный корень, относящийся к рэлеевской волне, который зависит только от коэффициента Пуассона ν:
(7)
Отсюда находятся компоненты смещений для рэлеевской волны
:
(8.1)
(8.2)
Практическое применение волн рэлеевского типа
Волны рэлеевского типа (псевдорэлеевские волны) успешно применяются в
инженерной сейсморазведке
для изучения упругих параметров пород и грунтов находящихся за обделкой тоннелей
, железобетонными, бетонными плитами, каменной кладкой или дорожной одеждой
. В случае увеличения скоростей с глубиной (как правило, при исследованиях с дневной поверхности) скорости поперечных волн в нижнем слое определяются по дисперсионным кривым псевдорэлеевских волн (см. рисунок). Этот способ широко используется практически и обоснован с точки зрения теории упругости.
Примечания
Lord Rayleigh.
(англ.)
// Proc. London Math. Soc. : journal. — 1885. —
Vol. s1—17
,
no. 1
. —
P. 4—11
.
21 июля 2010 года.
, с. 11.
, с. 7.
, с. 8.
, с. 9.
, с. 10.
(неопр.)
Дата обращения: 10 июля 2015. Архивировано из
10 июля 2015 года.
(неопр.)
Дата обращения: 10 июля 2015. Архивировано из
9 июля 2015 года.
Литература
Викторов И. А.
Звуковые поверхностные волны в твердых телах. —
М.
: Наука, 1981. — 287 с.