Постоянные Фейгенбаума — универсальные постоянные, характеризующие бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу ( сценарий Фейгенбаума ). Открыты Митчеллом Фейгенбаумом в 1975 году.

Первая константа Фейгенбаума

Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций — это рекуррентные последовательности ${\displaystyle x_{n+1}=f_{a}(x_{n})}$ , где ${\displaystyle a}$ — некоторый параметр. Один из простейшиx примеров функции ${\displaystyle f_{a}(x)}$ — логистическое отображение

${\displaystyle x_{n+1}=f_{a}(x_{n})=ax_{n}(1-x_{n})}$

В зависимости от параметра ${\displaystyle a}$ , в системе может присутствовать неподвижная точка или предельный цикл . При изменении ${\displaystyle a}$ может произойти бифуркация , при которой предельный цикл удваивает свой период. Обозначим за ${\displaystyle a_{n}}$ значения ${\displaystyle a}$ , при которых происходит удвоение периода. Оказывается, что при больших ${\displaystyle n}$ значения ${\displaystyle a_{n}}$ сходятся к фиксированному значению ${\displaystyle a_{\infty }}$ . Сходимость происходит по геометрической прогрессии, причём показатель этой геометрической прогрессии оказывается одинаковым для широкого класса функций ${\displaystyle f_{a}(x)}$ ( универсальность Фейгенбаума ). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}=4{,}669\;201\;609\;102\;990\;671\;853\;203\;820\;466\;\ldots ,}$

При ${\displaystyle a>a_{\infty }}$ динамика системы становится хаотичной .

Физический смысл первой константы Фейгенбаума — скорость перехода к хаосу систем, испытывающих удвоение периода.

Она характеризует каскад удвоения периода во многих сложных динамических системах, таких, как система Рёсслера , турбулентность , рост популяций и пр.

Вторая константа Фейгенбаума

Вторая константа Фейгенбаума

${\displaystyle \alpha =2{,}502\;907\;875\;095\;892\;822\;283\;902\;873\;218\;\ldots }$ —

определяется как предел отношения между шириной ветвей на диаграмме бифуркаций (см. рисунок). Эта константа тоже возникает в описании многих динамических систем.

Свойства констант Фейгенбаума

Предполагается, что обе константы являются трансцендентными , хотя это ещё не доказано.

См. также

• Каскад бифуркаций
• Бифуркационная диаграмма
• Универсальность Фейгенбаума

Ссылки

• (англ.)
• Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium]

Примечания