Те́нзор напряже́ний (иногда тензор напряжений Коши , тензор натяжений ) — тензор второго ранга, описывающий механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела, возникающих в этой точке при его (тела) малых деформациях. В случае объёмного тела, тензор часто записывается в виде матрицы 3×3:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]}$

а в случае двумерного тела (см. пример ниже) матрицей 2×2:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]}$

где ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(e_{n})}}$ — вектор механического напряжения , действующий на поверхность ${\displaystyle e_{n}}$ .

В случае матричной записи (в декартовой системе координат ) величины ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ (компоненты тензора напряжений), описывают напряжения испытываемые телом в какой-то заданной точке. В данной точке проводятся умозрительные плоскости с нормалями ${\displaystyle \color {Red}e_{1}}$ , ${\displaystyle \color {Red}e_{2}}$ , ... Нормальные компоненты сил, действующих на данные плоскости, записываются на главной диагонали ${\displaystyle \sigma _{11}}$ , ${\displaystyle \sigma _{22}}$ , ..., а в остальных позициях стоят касательные компоненты ${\displaystyle \tau _{yx}}$ , ${\displaystyle \tau _{xy}}$ , ... векторов напряжений на этих плоскостях.

В случае больших деформаций (конечные деформации), приходится использовать такие подходы как тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа , тензор Биота или тензор напряжения Кирхгофа .

Физический смысл тензора напряжений на примере в двумерном случае

Простейшей иллюстрацией, позволяющей понять физический смысл тензора напряжений, будет, вероятно, не рассмотрение случая напряжения в некотором объёмном теле, а, наоборот, рассмотрение напряжения в плоском двумерном теле. Для этого рассмотрим напряжение отрезка ткани под внешней нагрузкой (см. рис. А ).

На рисунке изображен прямоугольный кусок ткани под внешней нагрузкой, которая изображена чёрными стрелками по периметру прямоугольника. В данном случае нагрузкой может служить растяжение её руками в разные стороны, или натягивание ткани на какую-то сложную форму.

Интуитивно понятно, что из-за формы, ориентации молекул, атомных слоёв и разного плетения волокон (на рис.А расположение волокон схематично изображено мелкой серой сеткой) в разных точках ткани напряжение будет разным: где-то будут области, которые подвергаются вертикальному растяжению , а в других областях волокна будут испытывать напряжение сдвига .

Каждой точке на поверхности отрезка ткани соответствует своё уникальное значение ${\displaystyle \mathbf {T} }$ напряжения. Это значит, что каждой точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ткани соответствует свой математический объект — ${\displaystyle \mathbf {T} }$ — тензор второго ранга.

Чтобы понять, как тензор ${\displaystyle \mathbf {T} }$ показывает состояние напряжения в какой-нибудь точке ткани, можно сделать маленький разрез в данной точке и понаблюдать, в каком направлении будут расходиться данные разрезы. Так, на рис. А мы сделали два разреза в разных точках ткани: направление одного разреза ${\displaystyle \color {red}c}$ показано красной пунктирной линией, направление другого ${\displaystyle \color {blue}c}$ — синей пунктирной линией. Чтобы математически описать направление данных разрезов, используется вектор нормали (вектор, перпендикулярный плоскости разреза). Так, у разреза ${\displaystyle \color {red}c}$ вектор нормали ${\displaystyle \color {red}{\vec {c}}}$ красный и направлен перпендикулярно плоскости разреза, у разреза ${\displaystyle \color {blue}c}$ ситуация похожая. Направление роста разрыва в ткани обозначено фиолетовыми векторами ${\displaystyle \color {RedViolet}{\vec {t}}}$ .

Для предсказания того, куда будет развиваться разрез, как раз и используется тензор напряжений. Математически данное предсказание выглядело бы так:

1. Определить «тензорную функцию» ${\displaystyle f(x,y)=\mathbf {T_{x,y}} ,}$ аргументами которой являются координаты точек внутри тела, а значением является тензор, описывающий состояние напряжения в заданной точке тела.
2. Выбрать точку в теле, например, ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$ и из ${\displaystyle f(x,y)}$ получить тензор, который описывает состояние напряжения в точке ${\displaystyle \mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} .}$
3. Определить направление плоскости ${\displaystyle \color {red}{\vec {c}}}$ , в которой будет проводиться разрез тела.
4. Умножить направление разреза ${\displaystyle \color {red}{\vec {c}}}$ в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ на тензор напряжения в данной точке ${\displaystyle \mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} }$ , что в математической записи выглядит как ${\displaystyle {\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} \color {red}{\vec {c}}}=\color {RedViolet}{\vec {t}}.}$
5. Вектор ${\displaystyle \color {RedViolet}{\vec {t}}}$ и покажет, куда будет распространяться разрез ${\displaystyle \color {red}{\vec {c}}}$ в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ .

Разрезы ${\displaystyle \color {red}{\vec {c}}}$ и ${\displaystyle \color {blue}{\vec {c}}}$ — это вектора, а напряжение в точке ${\displaystyle \mathbf {T} }$ — это тензор.

Следует понимать, что разнонаправленные разрезы, совершённые в одной и той же точке тела, повлекут за собой различный отклик ткани. Данное явление показано на рис. Б , где разрастание разрыва ткани происходит по разным направлениям ${\displaystyle \color {RedViolet}{\vec {t}}}$ и с разной интенсивностью ${\displaystyle ||{\color {RedViolet}{\vec {t}}}||}$ , в ответ на различные направления первоначальных разрезов ${\displaystyle \color {red}{\vec {c}}}$ и ${\displaystyle {\vec {c}}}$ , совершённых в одной и той же точке.

Как раз для описания такого сложного поведения и используются тензоры, которые в данном случае служат векторными функциями ${\displaystyle f_{x_{0},y_{0}}({\vec {c}})=\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} {\vec {c}}={\vec {t}}}$ , определёнными в каждой точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ куска ткани, которые ставят все возможные направления ${\displaystyle {\vec {c}}}$ разрезов в соответствие со всеми возможными направлениями ${\displaystyle {\vec {t}}}$ дальнейшего разрыва ткани.

Вывод компонентов тензора

Компоненты тензора напряжений ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ в декартовой системе координат ${\displaystyle Ox_{i}}$ (то есть ${\displaystyle Oxyz}$ ) вводят следующим образом. Рассматривают бесконечно малый объём тела (сплошной среды) в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого ортогональны координатным осям и имеют площади ${\displaystyle dS_{i}}$ . На каждой грани ${\displaystyle dS_{i}}$ параллелепипеда действуют поверхностные силы ${\displaystyle dF_{i}}$ . Если обозначить проекции этих сил на оси ${\displaystyle Ox_{j}}$ как ${\displaystyle dF_{ij}}$ , то компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к величине площади грани, на которой действует эта сила:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {dF_{ij}}{dS_{i}}}}$

По индексу ${\displaystyle i}$ здесь суммирования нет. Компоненты ${\displaystyle \sigma _{11}}$ , ${\displaystyle \sigma _{22}}$ , ${\displaystyle \sigma _{33}}$ , обозначаемые также как ${\displaystyle \sigma _{xx}}$ , ${\displaystyle \sigma _{yy}}$ , ${\displaystyle \sigma _{zz}}$ — это нормальные напряжения , они представляют собой отношение проекции силы ${\displaystyle dF_{i}}$ на нормаль к площади рассматриваемой грани ${\displaystyle dS_{i}}$ :

${\displaystyle \sigma _{11}={\frac {dF_{11}}{dS_{1}}}}$ и т. д.

Компоненты ${\displaystyle \sigma _{12}}$ , ${\displaystyle \sigma _{23}}$ , ${\displaystyle \sigma _{31}}$ , обозначаемые также как ${\displaystyle \tau _{xy}}$ , ${\displaystyle \tau _{yz}}$ , ${\displaystyle \tau _{zx}}$ — это касательные напряжения , они представляют собой отношение проекции силы ${\displaystyle dF_{i}}$ на касательные направления к площади рассматриваемой грани ${\displaystyle dS_{i}}$ :

${\displaystyle \sigma _{12}={\frac {dF_{12}}{dS_{1}}}}$ и т. д.

При отсутствии собственного момента импульса сплошной среды, а также объёмных и поверхностных пар тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений), что является следствием уравнения баланса момента импульса . В частности, тензор напряжений симметричен в классической теории упругости и в гидродинамике идеальной и линейно-вязкой жидкостей.

Тензор напряжений в релятивистской физике

С точки зрения теории относительности , компоненты тензора напряжений являются девятью пространственными компонентами тензора энергии-импульса .

Тензор напряжений в классической электродинамике

В классической электродинамике тензор напряжений электромагнитного поля ( максвелловский тензор напряжений , тензор натяжений Максвелла ) в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

${\displaystyle T_{ij}=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-\delta _{ij}W,}$

где ${\displaystyle W}$ — плотность энергии электромагнитного поля.

См. также

• Тензор энергии-импульса
• Теория упругости
• Тензор деформации
• Закон Гука

Примечания

Литература

• Седов Л. И. М.: Наука, 1970.  492 c.
• Трусделл К. М.: Наука, 1975.  592 с.
• Димитриенко Ю. И. М.: Физматлит, 2010.