Уравнение Янга — Бакстера (уравнение факторизации, уравнение треугольников) — уравнение, относящееся к классу точно решаемых задач . Имеет вид локальных преобразований эквивалентности, которые появляются в самых разнообразных случаях, таких как электрические цепи , теория узлов и теория кос , . Получило своё имя от независимых работ Ч. Н. Янга 1968 г. и Р. Д. Бакстера 1971 г. по статистической механике .

Зависимое от параметров уравнение Янга — Бакстера

Обозначим через ${\displaystyle A}$ ассоциативную алгебру с единицей . Зависимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для ${\displaystyle R(u)}$ , зависимого от параметра обратимого элемента тензорного произведения алгебр ${\displaystyle A\otimes A}$ (здесь ${\displaystyle u}$ — параметр , который обычно изменяется по всем вещественным числам в случае аддитивного параметра, или по всем положительным вещественным числам в случае мультипликативного параметра). В случае аддитивного параметра, уравнение Янга — Бакстера является функциональным уравнением

${\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12}(u),}$

на функцию ${\displaystyle R}$ , в которую указанным образом подставлены две переменные ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ . При некоторых ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R(u)}$ может превратиться в одномерный проектор , это приводит к квантовому детерминанту. Для мультипликативного параметра уравнение Янга — Бакстера имеет вид

${\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u),}$

на функцию ${\displaystyle R}$ , где ${\displaystyle R_{12}(w)=\phi _{12}(R(w))}$ , ${\displaystyle R_{13}(w)=\phi _{13}(R(w))}$ , и ${\displaystyle R_{23}(w)=\phi _{23}(R(w))}$ , для всех величин параметра ${\displaystyle w}$ , и ${\displaystyle \phi _{12}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$ , ${\displaystyle \phi _{13}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$ , и ${\displaystyle \phi _{23}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$ , являются морфизмами алгебры, определёнными как

${\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}$

${\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}$

${\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}$

В некоторых случаях детерминант ^{[ неоднозначно ]} ${\displaystyle R(u)}$ может обнулиться при определённых величинах спектрального параметра ${\displaystyle u=u_{0}}$ , и иногда ${\displaystyle R(u)}$ даже превращается в одномерный проектор. В этом случае может быть определён квантовый детерминант.

Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера

Обозначим через ${\displaystyle A}$ ассоциативную алгебру с единицей . Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для ${\displaystyle R}$ , обратимого элемента тензорного произведения алгебр ${\displaystyle A\otimes A}$ . Уравнение Янга — Бакстера имеет вид

${\displaystyle R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},}$

где ${\displaystyle R_{12}=\phi _{12}(R)}$ , ${\displaystyle R_{13}=\phi _{13}(R)}$ , и ${\displaystyle R_{23}=\phi _{23}(R)}$ .

Пусть ${\displaystyle V}$ — модуль над ${\displaystyle A}$ . Пусть ${\displaystyle T:V\otimes V\to V\otimes V}$ линейная карта, удовлетворяющая ${\displaystyle T(x\otimes y)=y\otimes x}$ для всей ${\displaystyle x,y\in V}$ . Тогда представление группы кос , ${\displaystyle B_{n}}$ , может быть построено на ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R}}\otimes 1^{\otimes n-i-1}}$ для ${\displaystyle i=1,\dots ,n-1}$ , где ${\displaystyle {\check {R}}=T\circ R}$ на ${\displaystyle V\otimes V}$ . Это представление может использоваться, чтобы определить квазиинварианты кос , узлов .

Литература

• H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9 .
• Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 .
• Jacques H.H. Perk and Helen Au-Yang, "Yang–Baxter Equations", (2006), arXiv : .
• Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы. — М. : МЦНМО, 2012. — 256 с. — ISBN 978-5-94057-635-8 .