Зацепление кратности ${\displaystyle \mu }$ — вложение (чаще — его образ ) несвязной суммы ${\displaystyle \mu }$ экземпляров окружности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ или ${\displaystyle S^{3}}$ .

Зацепление кратности ${\displaystyle \mu =1}$ называется узлом .

Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами .

Объемлемо-изотопические классы зацеплений называются типами зацеплений . Зацепления одного типа называются эквивалентными .

Зацепление, состоящее из некоторых компонент зацепления ${\displaystyle L}$ , называется его частичным зацеплением .

Говорят, что зацепление (или расщепляется ), если два его частичных зацепления разделены в ${\displaystyle S^{3}}$ двумерной сферой.

Некоторые типы зацеплений

• Зацепление « ${\displaystyle 0,\;0,\;\ldots ,\;0}$ », лежащее в плоскости в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , называется тривиальным .
• Зацепление называется брунновым , если распадается каждое его частичное зацепление, кроме него самого.
• Наиболее изучены кусочно линейные зацепления. Рассмотрение гладких или локально плоских топологических вложений в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ приводит к теории совпадающей с кусочно линейной.
• Кроме плоскости всякое зацепление можно расположить на стандартно вложенной в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ замкнутой поверхности. Например, зацепление можно расположить на незаузленном торе или кренделе, тогда такое зацепление будет называться соответственно торическим , или крендельным .
• Зацепление, лежащее на границе трубчатой окрестности узла называется обмоткой узла ${\displaystyle k}$ . Зацепление, которое можно получить многократным взятием обмоток, начиная с тривиального узла, называется трубчатым , или сложным кабельтовым .

Задание зацеплений

Обычно зацепления задаются посредством так называемых диаграмм узлов и зацеплений . Этот способ тесно связан с понятием кос . Если в косе из ${\displaystyle 2n}$ нитей соединить вверху и внизу по ${\displaystyle n}$ пар соседних концов отрезками, то получится зацепление, называемое ${\displaystyle 2n}$ -сплетением.

Другой способ конструирования зацеплений из кос состоит в замыкании кос. Если между двумя параллельными плоскостями ${\displaystyle \Pi _{1}}$ и ${\displaystyle \Pi _{2}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ взять ${\displaystyle 2m}$ ортогональных им отрезков и соединить их концы попарно ${\displaystyle m}$ дугами в ${\displaystyle \Pi _{1}}$ и ${\displaystyle m}$ дугами в ${\displaystyle \Pi _{2}}$ без пересечений, то сумма всех дуг и отрезков даст зацепление. Зацепление, допускающее такое представление, называется зацеплением с ${\displaystyle m}$ мостами .

Примеры зацеплений

• Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами , состоит из двух окружностей , зацеплённых однократно и названо по имени Хайнца Хопфа .

• Узел Соломона , два кольца с двойным зацеплением
• Кольца Борромео — это зацепление , состоящее из трёх топологических окружностей , которые сцеплены и образуют брунново зацепление (то есть удаление любого кольца приведёт к разъединению двух оставшихся колец). Другими словами, никакие два из трёх колец не сцеплены как в зацеплении Хопфа , тем не менее, все вместе они сцеплены.

Примечания

Литература

• Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — doi : .
• P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
• C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781 .
• Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0 . .
• Мантуров В. О. Теория узлов. — М. : РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3 . .
• Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М. : Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8 . .
• Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М. : Мир, 1971. — 127 с.
• Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М. : Мир, 1981. — 286 с.
• Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
• Джонс, Воган Ф. Р. // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М. : МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3 .
• Сосинский, А. Б. . — М. : МЦНМО , 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6 . .
• Статьи // Математическое просвещение . — № 3. — 1999.
• Мантуров В. О. // Сетевой образовательный журнал . — 2004. — Т. 8 , № 1 . — С. 122—127 .
• H. Gruber. . — 2003. — arXiv : . * Kusner R. B., Sullivan J. M. . Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York: Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — doi : .
• Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13 , вып. 7 . — doi : .
• Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2 , вып. 4 . — doi : .
• Honda K. . (англ.)
• Etnyre J. B. . (англ.)
• Birman J.S. . (англ.)
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .