Interested Article - Инвариант узла

Инвариа́нт узла́ — любая характеристика узла (в простейшем число, но может быть многочленом , группой и так далее), которая определена для каждого узла и одинакова для эквивалентных узлов. Эквивалентность обычно задаётся объемлющей изотопией , но может задаваться и как гомеоморфизм .

Исследования инвариантов мотивированы не только основной задачей теории — различением узлов — но также и необходимостью понять фундаментальные свойства узлов и их связью с другими областями математики.

С современной точки зрения, естественно определять инвариант узла по его диаграмме . Конечно, инвариант должен оставаться неизменным при движениях Рейдемейстера , это свойство эквивалентно инвариантности характеристики.

Примеры

Простейшим примером инварианта является возможность раскрасить узел в три цвета , а также число таких раскрасок.
Одними из самых удобных инвариантов для различения узлов являются многочлены узлов :
- Многочлен Джонса
- Многочлен Александера
Инварианты конечного типа — класс инвариантов узлов, характеризующийася определённым соотношением на все разрешения сингулярного узла с данным числом самопересечений.
Другие инварианты могут быть определены при рассмотрении некоторых целочисленных функций на узловых диаграммах, взятием их минимума среди всех возможных диаграмм данного узла. К этому типу относится число сечений, которое является минимумом количества перекрёстов среди всех диаграмм узла, а также минимальное число мостов . Такие инварианты легко определить на почти невозможно посчитать.
утверждает, что дополнение узла (как топологического пространства ) является «полным инвариантом» узла, в том смысле, что он отличает заданный узел от всех остальных с точностью до объемлющей изотопии и зеркального отражения . Среди инвариантов, связанных с дополнением узла, есть группа узла , которая является просто фундаментальной группой его дополнения. (knot quandle) также является полным инвариантом в этом смысле, но квандлы трудно сравнивать на изоморфность.
Гиперболическая структура на дополнении гиперболического зацепления однозначно определяется жёсткостью Мостова , поэтому гиперболический объём инвариантен для этих узлов и зацеплений . Объём и другие гиперболические инварианты оказались эффективныи, для составления обширных .
Гомологические инварианты узлов, которые (переводят в термины теории категорий ) хорошо известные инварианты. Например
- — это теория гомологии, эйлеровой характеристикой которой является полином Александера узла. Она оказалась полезной для получения новых результатов о классических инвариантах.
- Ещё одно направление исследований — комбинаторно определённая теория когомологий, названная , её эйлерова характеристика — полином Джонса .