Многочлен Кауфмана — многочлен узла от двух переменных, предложенный ( англ. ). Первоначально был определён на диаграмме зацеплений как:

${\displaystyle F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)}$ ,

где ${\displaystyle w(K)}$ — закрученность диаграммы зацепления и ${\displaystyle L(K)}$ — многочлен, определённый на диаграмме зацепления со следующими свойствами:

• ${\displaystyle L(O)=1}$ ( ${\displaystyle O}$ — тривиальный узел);
• ${\displaystyle L(s_{r})=aL(s),\qquad L(s_{\ell })=a^{-1}L(s)}$ ;
• ${\displaystyle L}$ не меняется при применении движений Рейдемейстера типа II и III.

Здесь ${\displaystyle s}$ — нить, а ${\displaystyle s_{r}}$ (соответственно, ${\displaystyle s_{\ell }}$ ) — та же нить с добавлением правого (соответственно, левого) витка (используя движение Рейдемейстера типа I).

Кроме того, ${\displaystyle L}$ должно удовлетворять скейн-соотношению Кауфмана:

Рисунки представляют многочлен ${\displaystyle L}$ диаграмм, которые различны внутри окружности, как показано, но идентичны вовне ^{[ уточнить ]} .

Кауфман показал, что ${\displaystyle L}$ существует и является инвариантом неориентированных зацеплений, откуда следует, что ${\displaystyle F}$ является объемлюще-изотопическим инвариантом ориентированных зацеплений.

Многочлен Джонса — специальный вид многочлена Кауфмана, когда ${\displaystyle L}$ сужается до скобок Кауфмана . Многочлен Кауфмана связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для ${\displaystyle \mathrm {SO} (N)}$ так же, как многочлен HOMFLY связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для ${\displaystyle \mathrm {SU} (N)}$ .

Примечания

Литература

• Louis Kauffman. On Knots. — 1987. — ISBN 0-691-08435-1 .

Ссылки

• , the Knot Atlas

Для улучшения этой статьи по математике желательно : Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.