Нотация Конвея — это способ описания узлов , делающий многие свойства узлов очевидными. Нотация показывает строения узла, строя его с помощью некоторых операций над . Нотацию разработал Джон Хортон Конвей .

Основные концепции

Плетения

(также связка или тангл, tangle) — объект, состоящий из нескольких нитей, каким-либо образом расположенных в ограниченной области пространства, с концами на границе этой области; как и узел, плетение можно изобразить в виде диаграммы на плоскости. В нотации Конвея используются алгебраические 2-плетения. 2-плетение состоит из двух дуг, выходящих в 4 конца его диаграммы. «Алгебраические» означает, что они строятся с помощью операций из определённого набора, описанного ниже.

Простейшие алгебраические плетения — целые, которые состоят из нескольких идущих подряд одинаковых пересечений. Целые плетения обозначаются одним целым числом, обозначающим количество пересечений; знак числа зависит от типа этих пересечений. Если дуги не пересекаются, либо могут быть преобразованы в непересекающиеся дуги с помощью движений Рейдемейстера , то плетение обозначается 0 или ∞, в зависимости от его ориентации.

Операции на плетениях

Если плетение a зеркально отразить относительно прямой северо-запад/юго-восток, полученное новое плетение обозначают как ⁻ a (заметим, что это отличается от плетения с обращёнными пересечениями). Плетения имеют три бинарные операции : сумма , произведение и ветвление (ramification) , однако все они могут быть выражены операциями сложения и вычитания. Произведение плетений a b эквивалентно ⁻ a+b , а ветвление a,b эквивалентно ⁻ a+ ⁻ b .

Несколько целых плетений, объединённых через ветвление, при замыкании внешних концов порождают кружевное зацепление .

Базовые многогранники

Базовый многогранник в контексте нотации Конвея — это планарный граф без петель и кратных рёбер, каждая вершина которого имеет степень 4 (единственное исключение — базовый многогранник, именуемый 1 ^* , представляющий собой единственную вершину с двумя петлями). Узел или зацепление получается подстановкой алгебраических плетений в вершины базовых многогранников. Таким образом, можно получить все узлы и зацепления с числом пересечений вплоть до данного, если рассмотреть базовые многогранники с достаточным количеством вершин и алгебраические плетения с достаточным количеством пересечений. Базовых многогранников с небольшим количеством вершин сравнительно мало: например, из базовых многогранников с количеством вершин до 10, кроме 1 ^* , существует лишь по 1 многограннику с 6, 8 и 9 вершинами и 3 — с 10 вершинами (последовательность в OEIS ).

Запись нотации Конвея

Нотация Конвея требует, чтобы была определена нумерация вершин всех задействованных базовых многогранников и способ вставки плетений в эти вершины. Тогда запись узла или зацепления состоит из обозначения базового многогранника, за которым следуют обозначения алгебраических плетений, вставленных в его вершины, например: «8 ^* 2.1.3.4.1.1.5.1». Конвей разработал систему сокращений для этой записи, с учётом которой приведённый пример превращается в «8 ^* 2:3.4:.5».

Нотация Конвея неоднозначна в том смысле, что иногда можно изобразить узел или зацепление в виде двух различных диаграмм, имеющих минимальное количество пересечений каждая, но при этом записывающихся в нотации Конвея даже с различными базовыми многогранниками .

См. также

• Узел Конвея

Примечания

Литература

Литература для дальнейшего чтения

• Conway J. H. An Enumeration of Knots and Links, and Some of Their Algebraic Properties. // / Leech J.. — Oxford, England: Pergamon Press, 1970. — С. 329—358.
• Louis H. Kauffman, Sofia Lambropoulou. // Advances in Applied Mathematics. — 2004. — Т. 33 , вып. 2 . — С. 199—237 .