В теории узлов скрученный узел — это узел, полученный в результате перекручивания замкнутой петли с последующим зацеплением концов (таким образом, скрученный узел — это любое тривиального узла). Скрученные узлы являются бесконечным семейством узлов и считаются простейшим типом узлов после торических узлов .

Построение

Скрученный узел получается путём зацепления двух концов скрученной петли. Любое число полуоборотов может быть сделано до зацепления, что даёт бесконечное семейство. Следующие фигуры показывают несколько первых скрученных узлов:

• 
  Один полуоборот
  ( Трилистник )
• 
  Два полуоборота
  ( Восьмёрка )
• 
  Три полуоборота
  ( 5 ₂ )
• 
  Четыре полуоборота
  ( Узел грузчика )
• 
  Пять полуоборотов
  (7 ₂ )
• 
  Шесть полуоборотов
  (8 ₁ )

Свойства

Все скрученные узлы имеют число развязывания единица, поскольку узел можно развязать, разъединив два конца. Любой скрученный узел является также . Из всех скрученных узлов только тривиальный узел и узел грузчика являются срезанными . Скрученный узел c ${\displaystyle n}$ полуоборотами имеет число пересечений ${\displaystyle n+2}$ . Все скрученные узлы являются обратимыми , но ахиральными скрученными узлами являются только тривиальный узел и восьмёрка .

Инварианты

Инварианты скрученных узлов зависят от числа ${\displaystyle n}$ полуоборотов. Многочлен Александера скрученного узла задаётся формулой

${\displaystyle \Delta (t)=}$

${\displaystyle {\frac {n+1}{2}}t-n+{\frac {n+1}{2}}t^{-1}}$ для чётных n,

${\displaystyle -{\frac {n}{2}}t+(n+1)-{\frac {n}{2}}t^{-1}}$ для нечётных n,

а многочлен Конвея равен

${\displaystyle \nabla (z)=}$

${\displaystyle {\frac {n+1}{2}}z^{2}+1}$ для чётных n,

${\displaystyle 1-{\frac {n}{2}}z^{2}}$ для нечётных n.

Если ${\displaystyle n}$ нечётно, многочлен Джонса равен

${\displaystyle V(q)={\frac {1+q^{-2}+q^{-n}-q^{-n-3}}{q+1}},}$

при чётном же ${\displaystyle n}$

${\displaystyle V(q)={\frac {q^{3}+q-q^{3-n}+q^{-n}}{q+1}}.}$

Примечания

Литература

• Dale Rolfsen. Knots and links. — Providence, R. I.: AMS Chelsea Pub, 2003. — ISBN 0-8218-3436-3 .