Доказательные вычисления — целенаправленные вычисления на ЭВМ , комбинируемые с аналитическими исследованиями, которые приводят к строгому установлению новых фактов и доказательству теорем .

Достоверные вычисления

Одним из часто применяемых методов доказательных вычислений являются достоверные вычисления. Под достоверными вычислениями понимаются численные методы с автоматической верификацией точности получаемых результатов . Довольно часто доказательные вычисления строятся на основе интервального анализа , где вместо вещественных чисел рассматриваются интервалы , которые определяют точность величин. Интервальный анализ широко применяется для вычислений с гарантируемой точностью в условиях машинной арифметики .

Примеры

В теории чисел

Благодаря тому, что теория чисел во многом оперирует целыми числами, использование доказательных вычислений в теории чисел оказывается очень плодотворным.

• Утверждается, что число Мерсенна ${\displaystyle M_{43112609}=2^{43112609}-1}$ является простым . Проверить этот факт теоретически возможно человеку , но практически только с использованием вычислительной техники.
• Л. Эйлер выдвинул гипотезу , что уравнение ${\displaystyle x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=x_{5}^{5}}$ не имеет решений в целых положительных числах. Однако позднее было показано, что существует как минимум одно решение:

${\displaystyle x_{1}=27}$ , ${\displaystyle x_{2}=84}$ , ${\displaystyle x_{3}=110}$ , ${\displaystyle x_{4}=133}$ , ${\displaystyle x_{5}=144}$ .

Причем это решение было найдено с помощью перебора на компьютере .

В теории графов

Одно из наиболее известных успехов применения доказательных вычислений в теории графов является решение проблемы четырёх красок . Эта знаменитая задача была поставлена 1852 году и формулируется следующим образом: «выяснить, можно ли всякую расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета». В 1976 году К. Аппель и В. Хакен с помощью доказательных вычислений показали, что так можно раскрасить любую карту.

В гидродинамике

Применением доказательных вычислений в математических задачах гидродинамики систематически занимались в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН под руководством К. И. Бабенко . Примером является следующая теорема, полученная с помощью доказательных вычислений .

Теорема . При ${\displaystyle \alpha =1.02}$ и ${\displaystyle R=6000}$ спектральная задача Орра — Зоммерфельда имеет собственное значение, лежащее в полуплоскости ${\displaystyle \mathrm {Re} \,\lambda >0}$ . Следовательно, в линеаризованной постановке при этих параметрах течение Пуазёйля неустойчиво.

Ещё примеры

• Задача Буля о пифагоровых тройках .
• Классификация многогранников Джонсона .

См. также

• Математическое доказательство
• Экспериментальная математика

Примечания

Ссылки

Литература

• Панков П.С. Доказательные вычисления на электронно-вычислительных машинах. — Фрунзе: Илим, 1978. — 179 с.
• К. И. Бабенко. // УМН . — 1985. — Т. 40 , № 4(244) . — С. 137—138 .
• Бабенко К. И., Петрович В. Ю., Рахманов А. И. О доказательном эксперименте в теории поверхностных волн конечной амплитуды // Докл. АН. . — 1988. — Т. 303 , № 5 . — С. 1033—1037 .