Уда́рная адиабата , или адиаба́та Гюгонио́ , адиабата Рáнкина — Гюгонио́ — математическое соотношение, связывающее термодинамические величины до ударной волны и после. Таким образом, ударная адиабата не описывает сам процесс в ударной волне.

Названо в честь шотландского физика Уильяма Джона Ранкина и французского Пьера-Анри Гюгонио , которые независимо получили это соотношение (опубликовано соответственно в 1870 и 1887—1889 годах ).

Ударная адиабата представляет геометрическое место точек возможных конечных состояний вещества за фронтом ударной волны при заданных начальных условиях и описывает эти термодинамические состояния независимо от агрегатного состояния вещества, то есть справедлива для газов, жидкостей и твёрдых тел.

Вывод уравнения ударной адиабаты

Рассмотрим законы сохранения на стационарной ударной волне в такой системе отсчёта, в которой ударный фронт покоится:

${\displaystyle \rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}=j,}$

${\displaystyle p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}=p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2},}$

${\displaystyle h_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}=h_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}.}$

Здесь ${\displaystyle \rho }$ — плотность газа, ${\displaystyle u}$ — скорость газа относительно ударной волны, ${\displaystyle h}$ — удельная энтальпия газа, ${\displaystyle j}$ — поток массы через разрыв, индексами «1» и «2» обозначены состояния среды до и после ударной волны.

Выразим скорость в последнем равенстве через поток массы ${\displaystyle u=j/\rho }$ , получим уравнение:

${\displaystyle h_{2}-h_{1}+{\frac {j^{2}}{2}}\left({\frac {1}{\rho _{2}^{2}}}-{\frac {1}{\rho _{1}^{2}}}\right)=0.}$

Исключая из него j с помощью равенства, известного под названием прямая или луч Рэлея — Михельсона (название связано с тем, что это уравнение задаёт прямую линию на плоскости ${\displaystyle (p,V)}$ , где ${\displaystyle V=1/\rho }$ — удельный объём ):

${\displaystyle j^{2}=-{\frac {p_{2}-p_{1}}{V_{2}-V_{1}}},}$

приходим к соотношению Ранкина — Гюгонио:

${\displaystyle h_{2}-h_{1}-{\frac {\left(p_{2}-p_{1}\right)}{2}}\left(V_{1}+V_{2}\right)=0.}$

Если выразить энтальпию через внутреннюю энергию ${\displaystyle \varepsilon }$ как ${\displaystyle h=\varepsilon +pV}$ , то уравнение Ранкина — Гюгонио переходит в следующее выражение:

${\displaystyle \varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}-{\frac {\left(p_{2}+p_{1}\right)}{2}}\left(V_{1}-V_{2}\right)=0.}$

Особенности ударной адиабаты

Переход вещества через ударную волну является термодинамически необратимым процессом, поэтому при прохождении через вещество ударной волны удельная энтропия увеличивается. Так, для слабых ударных волн в совершенном газе рост энтропии пропорционален кубу относительного роста давления ${\displaystyle (p_{2}-p_{1})/p_{1}.}$

Увеличение энтропии означает наличие диссипации (внутри ударной волны, являющейся узкой переходной зоной, существенны, в частности, вязкость и теплопроводность). Это, в частности, приводит к тому, что тело, движущееся в идеальной жидкости с возникновением ударных волн, испытывает силу сопротивления, то есть для такого движения парадокс Д'Аламбера не имеет места.

Часто ударной адиабатой Гюгонио называют кривую в плоскости ${\displaystyle (p,V)}$ или ${\displaystyle (p,\rho ),}$ определяющую зависимость ${\displaystyle p_{2}}$ от ${\displaystyle \rho _{2}}$ при заданных начальных значениях ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle \rho _{1}.}$ При заданных ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle \rho _{1}}$ ударная волна, перпендикулярная потоку, определяется всего одним параметром (наклонная ударная волна характеризуется дополнительно значением касательной к её поверхности составляющей скорости): например, если задать ${\displaystyle p_{2},}$ то по адиабате Гюгонио можно найти ${\displaystyle \rho _{2},}$ а отсюда с использованием вышеприведённых формул — плотность потока ${\displaystyle j}$ и скорости ${\displaystyle u_{1}}$ и ${\displaystyle u_{2},}$ а из уравнения состояния — температуру и т. д.

Ударную адиабату не следует путать с адиабатой Пуассона , описывающей процесс с постоянной энтропией ${\displaystyle s,}$ то есть такие процессы термодинамически обратимы.

В отличие от адиабаты Пуассона, для которой ${\displaystyle s(\rho ,p)=\mathrm {const} ,}$ уравнение ударной адиабаты нельзя написать в виде ${\displaystyle f(\rho ,p)=\mathrm {const} ,}$ где ${\displaystyle f}$ — однозначная функция двух аргументов: адиабаты Гюгонио для заданного вещества составляют двухпараметрическое семейство кривых (каждая кривая определяется заданием как ${\displaystyle p_{1},}$ так и ${\displaystyle \rho _{1},}$ ) тогда как адиабаты Пуассона — однопараметрическое.

Примеры

Пусть удельная внутренняя энергия имеет выражение как для идеального газа:

${\displaystyle \varepsilon =\lambda \,p\,V}$ , ${\displaystyle 3/2\leqslant \lambda \leqslant 3.}$

Величина ${\displaystyle \lambda }$ равна ${\displaystyle 3/2}$ для одноатомного идеального газа, ${\displaystyle 5/2}$ — для двухатомного, ${\displaystyle 3}$ — для многоатомного. Для смесей возможны также и все промежуточные значения.

Тогда из общего случая легко получить уравнение ударной адиабаты в виде:

${\displaystyle \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{2\lambda +1}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{2\lambda +1}}\right)=1-{\frac {1}{(2\lambda +1)^{2}}}~.}$

Правая часть всегда положительна, поэтому и левая часть должна быть положительна, откуда ${\displaystyle V_{2}>{\frac {V_{1}}{2\lambda +1}},}$ то есть такой газ может сжиматься ударной волной только менее чем в ${\displaystyle 2\lambda +1}$ раз. Второе начало термодинамики приводит к тому, что ${\displaystyle p_{2}\geqslant p_{1},}$ ${\displaystyle V_{2}\leqslant V_{1}}$ (для всех ударных адиабат), то есть объём вещества после ударной волны может только уменьшаться, а давление — только увеличиваться. (Если ${\displaystyle V_{2}=V_{1},}$ то из уравнения следует ${\displaystyle p_{2}=p_{1},}$ и наоборот. Это соответствует звуковой волне, а не ударной.)

Для сравнения, уравнение изотермы в аналогичной записи: ${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}{\frac {V_{2}}{V_{1}}}=1}$ ( закон Бойля — Мариотта ).

Примеры для некоторых значений ${\displaystyle \lambda .}$

При ${\displaystyle \lambda =3/2:\qquad \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{4}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{4}}\right)={\frac {15}{16}}.}$

При ${\displaystyle \lambda =2:\qquad \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{5}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{5}}\right)={\frac {24}{25}}.}$

При ${\displaystyle \lambda =5/2:\qquad \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{6}}\right)={\frac {35}{36}}.}$

При ${\displaystyle \lambda =3:\qquad \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}+{\frac {1}{7}}\right)\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}-{\frac {1}{7}}\right)={\frac {48}{49}}.}$

Правая часть выражения положительна, поэтому и левая должна быть положительна. Отсюда следует, что одноатомный идеальный газ сжимается ударной волной любой силы менее чем в 4 раза, двухатомный — менее чем в 6 раз, многоатомный — менее чем в 7. При этом в данной модели нет ограничений на повышение давления.

Примечания

Литература

• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М. : Наука , 1988. — 736 с. — (« Теоретическая физика », том VI). — С. 456—459 (§ 85).
• Крайко А. Н. Краткий курс теоретической газовой динамики. — М. : МФТИ, 2007. — С. 300. — ISBN 978-5-7417-0229-1 .
• Ловля С. А. и др. Закон сохранения энергии // Взрывное дело. — Изд. 2-е. — Москва: Недра, 1976. — С. 37.