Макроскопические уравнения, используемые для вычисления ядерной намагниченности M = ( M _x , M _y , M _z ) как функции времени с временами релаксации T ₁ и T ₂ . Находят широкое применение в таких отраслях физики как ЯМР , МРТ и ЭПР . Названы в честь лауреата Нобелевской премии по физике Феликса Блоха , который впервые ввел их в 1946 году . В литературе иногда называются уравнениями движения ядерной намагниченности.

Уравнения в лабораторной (стационарной) системе координат

Пусть M ( t ) = ( M _x ( t ), M _y ( t ), M _z ( t )) ядерная намагниченность. Тогда уравнения Блоха имеют следующий вид:

${\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}}$

здесь γ - гиромагнитное отношение , а B ( t ) = ( B _x ( t ), B _y ( t ), B ₀ + Δ B _z (t)) - напряженность магнитного поля на ядре. Z-компонента вектора В есть сумма постоянной ( B ₀ ) и изменяющейся во времени Δ B _z (t), использующейся в частности для пространственного разрешения ЯМР-сигнала. × - знак векторного произведения векторов. M ₀ - стационарное значение ядерной намагниченности (например при t → ∞) вдоль внешнего приложенного поля.

Физическое обоснование

Уравнения Блоха феноменологические . При отсутствии релаксации (то есть при T ₁ и T ₂ → ∞) уравнения Блоха упрощаются до:

${\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}}$

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}}$

или в векторной записи:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt}}=\gamma \mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)}$

Это уравнение Ларморовской прецессии ядерной намагниченности M вокруг внешнего приложенного поля B .

Члены

${\displaystyle \left(-{\frac {M_{x}}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}\right)}$

отвечают процессу продольной и поперечной релаксации ядерной намагниченности M .

Уравнения Блоха являются макроскопическими : они являются уравнениями движения для макроскопической ядерной намагниченности, которая может быть получена сложением отдельных ядерных магнитных моментов образца. Для описания поведения каждого магнитного момента они не пригодны.

Альтернативная форма записи уравнений Блоха

После открытия скобок векторного произведения и введения M _xy , В _xy согласно

${\displaystyle M_{xy}=M_{x}+iM_{y}{\text{ и }}B_{xy}=B_{x}+iB_{y}}$

,получим

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}}$ .

${\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i\gamma \left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)}}-{\overline {M_{xy}}}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}}$

Здесь i = √(-1) и : ${\displaystyle {\overline {M_{xy}}}=M_{x}-iM_{y}}$ .

Действительная и мнимая части M _xy соответствуют M _x и M _y . M _xy также иногда называется поперечной ядерной намагниченностью .

Уравнения Блоха во

При отсутствии релаксации ( T ₁ and T ₂ → ∞) и постоянном внешнем поле, направленном вдоль оси z ( B ( t ) = (0, 0, B ₀ ), решениями уравнений Блоха являются

${\displaystyle M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{0}t}}$ ,

${\displaystyle M_{z}(t)=M_{0}={\text{const}}}$ .

Таким образом, поперечная намагниченность M _xy вращается вокруг оси z с угловой частотой ω ₀ = γ B ₀ против часовой стрелки. Продольная намагниченность M _z остается постоянной во времени. Если перейти в систему координат, вращающуюся с частотой Ω (выбор которой может быть обусловлен, например, частотой внешнего переменного поля ΔВ ), то в ней решение представится в виде:

${\displaystyle M_{z}'(t)=M_{z}(t)}$ .

${\displaystyle M_{xy}'(t)=e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)}$ .

Уравнения движения поперечной намагниченности во вращающейся системе координат

Подставив выражение из предыдущей секции получим:

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}={\frac {d\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)}{dt}}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega e^{+i\Omega t}M_{xy}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega M_{xy}'}$

Уравнения Блоха во вращающейся системе координат примут вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=e^{+i\Omega t}\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'=\\&=\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)-{\frac {M_{xy}e^{+i\Omega t}}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'=\\&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)B_{z}'(t)-M_{z}'(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\end{aligned}}}$

С учётом ранее принятого представления напряженности магнитного поля как суммы постоянной и переменной составляющей ( B _z ′( t ) = B _z ( t ) = B ₀ + Δ B _z ( t )) уравнения окончательно принимают вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)(B_{0}+\Delta B_{z}(t))-M_{z}(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}=\\&=-i\gamma (t)B_{0}M_{xy}'-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\\&=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\\\end{aligned}}}$

Слагаемые в правой части:

• i (Ω - ω) M _xy ′( t ) - Ларморовское вращение в системе координат, вращающейся с угловой частотой Ω относительно лабораторной. Обращается в ноль при Ω = ω ₀ .
• - i γ Δ B _z ( t ) M _xy ′( t ) определяет влияние неоднородности магнитного поля вдоль оси z (зависимость от Δ B _z ( t )) на поперечную ядерную намагниченность.
• i γ Δ B _xy ′( t ) M _z ( t ) определяет поведение поперечной намагниченности при приложении переменного поперечного магнитного поля ( Δ B _xy ′( t ) ) на ядерную намагниченность. Используется для описания эффектов .
• - M _xy ′( t ) / T ₂ описывает понижение когерентности поперечной намагниченности со временем.

Простые решения уравнений Блоха

Релаксация поперечной ядерной намагниченности M _xy

Предположим:

• Внешнее магнитное поле постоянно и приложено вдоль оси z( B _z ′( t ) = B _z ( t ) = B ₀ ). Тогда ω ₀ = γ B ₀ , Δ B _z ( t ) = 0 и B _xy ' = 0.
• Система координат вращается относительно лабораторной с частотой Ω = ω ₀ .

Тогда во вращающейся системе координат уравнение движения поперечной намагниченности M _xy '( t ) упрощается до:

${\displaystyle {\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}}$

Решение этого уравнения:

${\displaystyle M_{xy}'(t)=M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2}}}$ .

где M _xy '(0) поперечная намагниченность при t = 0. При точном совпадении частоты ВСК с Ларморовской частотой (Ω = ω ₀ ), вектор поперечной намагниченности является постоянным.

π/2 и π импульсы

Предположим, что:

• Продольное магнитное поле постоянно и приложено вдоль оси z. То есть B _z ′( t ) = B _z ( t ) = B ₀ , ω ₀ = γ B ₀ и Δ B _z ( t ) = 0.
• В момент времени t = 0 на образец подается переменное поперечное магнитное поле на частоте ω ₀ .
• Система координат вращается относительно лабораторной с частотой Ω = ω ₀ .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\end{aligned}}}$

Путём изменения времени приложения переменного поля можно добиться прецессии ядерной намагниченности на углы π/2 и π. В результате можно можно наблюдать, например, эффект спинового эха .

Релаксация продольной ядерной намагниченности M _z

Ссылки

1. F Bloch , Nuclear Induction , Physics Review 70 , 460-473 (1946)

Литература

• Charles Kittel , Introduction to Solid State Physics , John Wiley & Sons, 8th edition (2004), ISBN 978-0-471-41526-8 . Chapter 13 is on Magnetic Resonance.

1. Абрагам А. Ядерный магнетизм, М.: Издательство иностр. лит., 1963.
2. Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса, М.: Мир, 1981.