Анато́лий Па́влович Марке́ев (род. 17 мая 1942 , Новая Слободка , Курская область ) — советский и российский учёный- механик , автор работ в области теоретической механики , небесной механики , теории дифференциальных уравнений . Доктор физико-математических наук (1976), профессор (1977).

Биография

Отец А. Маркеева был бухгалтером колхоза, позже — директором МТС ; мать тоже работала в колхозе. Детство Анатолия прошло в голодной, полуразрушенной деревне (в годы Великой Отечественной войны Новую Слободку дважды захватывали немецко-фашистские оккупанты ); хлеб в семье появился лишь тогда, когда старшая сестра Анатолия, закончив восьмой класс, начала работать в колхозе .

В 1959 г. Анатолий с золотой медалью окончил среднюю школу, а в 1960 г. поступил на аэромеханический факультет Московского физико-технического института . В 1966 году А. П. Маркеев окончил институт (получив диплом с отличием), а в 1969 г. — аспирантуру при МФТИ, защитив кандидатскую диссертацию на тему «Исследование движения в некоторых задачах небесной механики» .

Молодой кандидат наук стал сотрудником Института прикладной математики АН СССР , где работал в отделе Д. Е. Охоцимского , занимавшемся задачами динамики космического полёта .

В декабре 1975 года А. П. Маркеев становится заведующим кафедрой алгебры и теории функций Московского авиационного института (МАИ), а в 1977 г. он приступает к работе в должности профессора кафедры теоретической механики того же института . Опыт чтения курса теоретической механики студентам факультета прикладной математики МАИ, многочисленные методические находки лектора, выработанная им концепция преподавания механики студентам механико-математических специальностей нашли выражение в учебнике «Теоретическая механика» А. П. Маркеева (первое издание — 1990 г.) .

За время работы Маркеева в МАИ под его научным руководством было защищено 13 кандидатских диссертаций, 5 его учеников защитили докторские диссертации .

В 1987 году Маркеев становится ведущим (затем — главным) научным сотрудником Института проблем механики РАН .

В 2009 году А. П. Маркеев вернулся в родной для него Московский физико-технический институт , куда он был приглашён для чтения лекций по теоретической механике студентам факультета общей и прикладной физики .

Научная деятельность

Первые научные работы А. П. Маркеева относятся к области небесной механики ; к данной тематике он неоднократно возвращался и позднее.

В 1967 г. Маркеев исследовал устойчивость поступательного движения динамически симметричного твёрдого тела на круговой орбите и получил для отношения главных моментов инерции тела неравенства, при соблюдении которых движение тела устойчиво, а в противном случае — нет .

В 1969 г. А. П. Маркеев дал окончательное решение поставленной ещё Лагранжем (1772 г.) задачи об устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограниченной задаче трёх тел . Именно, он доказал, что если для масс притягивающих центров выполнено найденное Лагранжем достаточное условие устойчивости в первом приближении

${\displaystyle {\varkappa }(1-{\varkappa })\;<\;{1 \over 27}}$ ,

где ${\displaystyle {\varkappa }=m_{1}/(m_{1}+m_{2})}$ ,  то треугольные точки либрации будут устойчивы для всех значений ${\displaystyle \varkappa }$ ,  кроме двух исключительных:

${\displaystyle {\varkappa }\;=\;{15\,-\,{\sqrt {213}} \over 30}\;\approx \;0,013516}$ и ${\displaystyle \varkappa \;=\;{45\,-\,{\sqrt {1833}} \over 90}\;\approx \;0,024294}$ ,

при которых данные точки неустойчивы .

В 1972 г. Маркеев разработал алгоритм приведения к нормальной форме гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами .

В 1973—1974 гг. Маркеев предложил метод точечных отображений , предназначенный для нахождения периодических решений гамильтоновых систем , и применил его при решении ряда конкретных задач .

В 1976 г. А. П. Маркеев успешно защитил докторскую диссертацию на тему «Некоторые задачи теории гамильтоновых систем и её приложения к небесной механике». Содержание диссертации составили результаты, полученные при решении ряда задач о движении спутника относительно центра масс: задач об устойчивости относительных равновесий спутника с тремя неравными моментами инерции , нелинейной задачи об устойчивости нечётных периодических колебаний спутника в плоскости его эллиптической орбиты, задачи об орбитальной устойчивости плоских колебаний и вращений динамически симметричного спутника на круговой орбите .

Маркеев внёс значительный вклад в динамику катящегося твёрдого тела. Он нашёл приближённое решение задачи о движении однородного эллипсоида по неподвижной горизонтальной плоскости , объяснил ряд динамических эффектов в движении «кельтского камня» и волчка , доказал интегрируемость задачи о качении шара с многосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью , исследовал устойчивость стационарных и периодических движений тел, контактирующих с твёрдой поверхностью в процессе движения. Маркееву удалось также собрать и систематизировать многочисленные исследования различных учёных по данной тематике; всё это легло в основу монографии «Динамика тела, соприкасающегося с твёрдой поверхностью» (1992 г.) .

В 1990-е гг. Маркеев занимается анализом устойчивости положений равновесия в периодических по времени гамильтоновых системах с одной степенью свободы и автономных гамильтоновых системах с двумя степенями свободы при наличии параметрического резонанса, резонансов 3-го и 4-го порядка . При этом наибольший интерес учёного вызывают случаи, когда наличие резонанса вызывает неустойчивость анализируемого равновесия, но движения системы остаются ограниченными; при помощи аппарата KAM-теории он получает оценки для областей ограниченности движений. Применяя данные результаты к конкретным задачам, Маркеев решает нелинейную задачу об устойчивости относительных равновесий математического маятника с колеблющейся по вертикали точкой подвеса , даёт объяснение асимметрии, наблюдаемой в расположении люков Кирквуда в поясе астероидов .

В задаче об орбитальной устойчивости периодических решений автономных гамильтоновых систем А. П. Маркееву удалось разработать общий конструктивный алгоритм нормализации таких систем . Используя данный алгоритм, он сумел дать строгое решение классической задачи об устойчивости регулярной прецессии Гриоли (открыта в 1947 г. и является — наряду с прецессиями волчков Эйлера и Лагранжа — третьей и последней из известных прецессий тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой) .

Для линейной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, периодической по времени и близкой к автономной, Маркеев создал теорию устойчивости при наличии кратного параметрического резонанса , причём дал классификацию всех возможных случаев таких резонансов и построил области устойчивости и неустойчивости. Впервые было установлено, что из одной порождающей точки может выходить несколько областей параметрического резонанса. Эти результаты были применены к ряду задач о движении спутника относительно центра масс; в ходе исследования Маркеевым устойчивости плоских колебаний и вращений спутника на круговых и эллиптических орбитах была, в частности, решена задача об устойчивости вращательного движения спутника, движущегося по эллиптической орбите при резонансе 3 : 2 (резонанс меркурианского типа ) . Перечисленные результаты были изложены в монографии «Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс» (2009 г.) .

Награды и премии

• Государственная премия Российской Федерации в области науки и техники ( 1994 ) — за цикл работ «Динамика сложных механических систем» (совместно с В. Ф. Журавлёвым , Д. М. Климовым и В. В. Козловым )
• Малая планета 4302 была названа в честь А. П. Маркеева — за решение задачи об устойчивости треугольных точек либрации .
• Премия имени А. М. Ляпунова РАН ( 2013 ) — за цикл работ «Методы и алгоритмы исследования устойчивости и нелинейных колебаний в задачах классической и небесной механики»

Оценки

Профессор И. В. Новожилов в 1995 году так отзывался о Маркееве: «…Возвращаемся к Анатолию Павловичу Маркееву. Редкостные способности аналитика, трудолюбие человека, преданного своему ремеслу… Он вошёл в механику лет двадцать пять назад, как кондотьер входит в древний город, чтобы быть пленённым им… Взращивают же южнороссийские земли мужчин с такой горделивой осанкой… и силой напора!»

Публикации

Дифференциальные уравнения

книги

• Маркеев А. П. О методе точечных отображений и некоторых его приложениях в задаче трёх тел. — М. : ИПМ АН СССР, 1973. Препринт № 49. — 58 с.
• Маркеев А. П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. — М.–Ижевск: НИЦ «РХД», 2009. — 396 с. — ISBN 978-5-93972-729-7 .

статьи

• Маркеев А. П. О нормализации гамильтоновой системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Прикл. матем. и мех. — 1972. — Т. 36 , вып. 5 . — С. 805—810 .
• Маркеев А. П., Чеховская Т. Н. О резонансных периодических решениях гамильтоновых систем, рождающихся из положения равновесия // Прикл. матем. и мех. — 1982. — Т. 46 , вып. 1 . — С. 27—33 .
• Маркеев А. П., Медведев С. В., Сокольский А. Г. Методы и алгоритмы нормализации дифференциальных уравнений. — М. : Изд-во МАИ, 1985. — 74 с.
• Маркеев А. П. О поведении нелинейной гамильтоновой системы с одной степенью свободы на границе области параметрического резонанса // Прикл. матем. и мех. — 1995. — Т. 59 , вып. 4 . — С. 569—580 .
• Маркеев А. П. О критическом случае резонанса четвёртого порядка в гамильтоновой системе с одной степенью свободы // Прикл. матем. и мех. — 1997. — Т. 61 , вып. 3 . — С. 369—376 .
• Маркеев А. П. Алгоритм нормализации гамильтоновой системы в задаче об орбитальной устойчивости периодических движений // Прикл. матем. и мех. — 2002. — Т. 66 , вып. 6 . — С. 929—938 .
• Маркеев А. П. О кратном параметрическом резонансе в системах Гамильтона // Прикл. матем. и мех. — 2006. — Т. 70 , вып. 2 . — С. 200—220 .

Теоретическая механика

книги

• Маркеев А. П. Динамика твёрдого тела, соприкасающегося с твёрдой поверхностью . — М. : Наука, 1992. — 335 с. — ISBN 5-02-014285-9 .
• Маркеев А. П. Теоретическая механика : Учебник для университетов. 3-е изд. — М.; Ижевск: РХД, 2007. — 592 с. — ISBN 978-5-93972-604-7 .
• Баничук Н.В., Карпов И.И., Климов Д.М., Маркеев А.П., Соколов Б.Н., Шаранюк А.В. Механика больших космических конструкций . М.: Факториал, 1997.

статьи

• Маркеев А. П. О движении тяжёлого однородного эллипсоида на неподвижной горизонтальной плоскости // Прикл. матем. и мех. — 1982. — Т. 46 , вып. 4 . — С. 553—567 .
• Маркеев А. П. К динамике волчка // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. — 1984. — № 3 . — С. 30—38 .
• Маркеев А. П. Об интегрируемости задачи о качении шара с многосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. — 1986. — № 1 . — С. 64—65 .
• Бардин Б. С., Маркеев А. П. Об устойчивости равновесия маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса // Прикл. матем. и мех. — 1995. — Т. 59 , вып. 6 . — С. 922—929 .
• Маркеев А. П. Об устойчивости прецессии Гриоли // Прикл. матем. и мех. — 2003. — Т. 67 , вып. 4 . — С. 556—572 .

Небесная механика

книги

• Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике . — М. : Наука, 1978. — 312 с.
• Куницын А.Л., Маркеев А.П. Устойчивость в резонансных случаях . Итоги науки и техн. ВИНИТИ, Сер. Общая механика, т. 4, 1979.
• Маркеев А.П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс . Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009.

статьи

• Маркеев А. П. Устойчивость стационарного вращения спутника на эллиптической орбите // Космич. исследования. — 1965. — Т. 3 , вып. 5 . — С. 674—676 .
• Маркеев А. П. Резонансные эффекты и устойчивость стационарных вращений спутника // Космич. исследования. — 1967. — Т. 5 , вып. 3 . — С. 365—375 .
• Маркеев А. П. Об устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограниченной задаче трёх тел // Прикл. матем. и мех. — 1969. — Т. 33 , вып. 1 . — С. 112—116 .
• Маркеев А. П. Об устойчивости треугольных точек либрации в системе Солнце — Юпитер // Астрон. журнал. — 1974. — Т. 51 , вып. 3 . — С. 627—634 .
• Маркеев А. П. О несимметрии расположения люков Кирквуда в кольце астероидов // Докл. РАН. — 2001. — Т. 380 , № 6 . — С. 765—769 .
• Маркеев А. П. К задаче об устойчивости вращения Меркурия относительно центра масс // Докл. РАН. — 2008. — Т. 422 , № 6 . — С. 758—761 .
• Маркеев А. П. К теории резонансного вращения Меркурия // Нелинейная динамика. — 2009. — Т. 5 , № 1 . — С. 87—98 .

Примечания

Литература

• // Нелинейная динамика. — 2012. — Т. 8 , № 2 . — С. 201—218 .