Биэллиптическая переходная орбита — в космонавтике и аэрокосмической технике орбита манёвра , при котором космический аппарат переходит с одной орбиты на другую. В некоторых случаях биэллиптический переход требует меньшей характеристической скорости дельта-v , чем перелёт по гомановскому эллипсу .

Биэллиптическая орбита состоит из двух половин эллиптических орбит . Сначала космическому аппарату, находящемуся на начальной орбите, придаётся определённая дельта-v для перехода на первую часть биэллиптической орбиты с апоцентром в некоторой точке на расстоянии ${\displaystyle r_{b}}$ от центрального тела. В этой точке аппарату также придаётся некоторая дельта-v для перехода на второй участок биэллиптической орбиты с перицентром на расстоянии, равном радиусу итоговой желаемой орбиты. В точке перицентра в третий раз аппарату придаётся некоторая дельта-v, в результате аппарат переходит на требуемую орбиту .

Биэллиптические перелёты обычно требуют больше топлива и времени, чем гомановские, но некоторые биэллиптические траектории требуют меньшей суммарной дельта-v, чем гомановская траектория, в случае отношения больших полуосей конечной и начальной траектории, превышающего 11,94, в зависимости от большой полуоси промежуточной орбиты .

Идея биэллиптической переходной орбиты была впервые представлена в статье Ари Штернфельда в 1934 году .

Вычисления

Дельта-v

Три значения изменения скорости можно получить непосредственно из интеграла энергий,

${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$

где

${\displaystyle v}$ — скорость аппарата на орбите,

${\displaystyle \mu =GM}$ — гравитационный параметр притягивающего тела,

${\displaystyle r}$ — расстояние от притягивающего центра до тела на орбите,

${\displaystyle a}$ — большая полуось орбиты тела.

В рассматриваемой задаче

${\displaystyle r_{1}}$ — радиус начальной круговой орбиты,

${\displaystyle r_{2}}$ — радиус конечной круговой орбиты,

${\displaystyle r_{b}}$ — радиус общего апоцентра двух эллиптических участков переходной орбиты, свободный параметр манёвра,

${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ равны большим полуосям эллиптических участков переходной орбиты, задаются равенствами

${\displaystyle a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2}},}$

${\displaystyle a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}.}$

При старте с начальной круговой орбиты радиуса ${\displaystyle r_{1}}$ (тёмно-синяя окружность на рисунке), добавление скорости по направлению движения (вектор в положении 1 на рисунке) переводит космический аппарат на первый эллиптический участок орбиты перехода (бирюзовая линия). Величина необходимой дельта-v равна

${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{1}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}.}$

Когда апоцентр первого эллиптического участка достигается на расстоянии ${\displaystyle r_{b}}$ , аппарату второй раз придаётся дополнительная скорость по направлению движения (вектор в положении 2 на рисунке), в результате на новой эллиптической орбите (оранжевая кривая) перицентр находится в точке касания итоговой круговой орбиты. Величина требуемой для перехода на эту часть переходной орбиты равна

${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.}$

Наконец, когда достагется финальная круговая орбита радиуса ${\displaystyle r_{2}}$ , аппарату придаётся вектор скорости против движения по орбите (вектор в положении 3 на рисунке) для перехода на итоговую круговую орбиту (красная окружность). Финальная добавка скорости равна

${\displaystyle \Delta v_{3}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{2}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}.}$

Если ${\displaystyle r_{b}=r_{2}}$ , то манёвр преобразуется в гомановскую траекторию (в этом случае ${\displaystyle \Delta v_{3}}$ равно нулю). Следовательно, биэллиптическая орбита представляет более общий тип траектории, чем гомановская.

Максимальная экономия в смысле добавочной скорости может быть вычислена в предположении ${\displaystyle r_{b}=\infty }$ , тогда полное значение ${\displaystyle \Delta v}$ принимает вид ${\displaystyle {\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}}}\right)}$ .

В таком случае переход называется бипараболическим, поскольку оба участка траектории являются не эллипсами, а параболами. Время перелёта также стремится к бесконечности.

Время перелёта

Как и в случае гомановского перелёта, обе части траектории, используемой в биэллиптическом перелёте, являются в точности половинами эллипсов. Это означает, что время, необходимое для преодоления каждой фазы перехода, является половиной орбитального периода для каждого эллипса.

Используем уравнение для орбитального периода и указанные выше обозначения:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$

Полное время перелёта ${\displaystyle t}$ является суммой промежутков времени для каждой из половин эллипсов, следовательно

${\displaystyle t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}},\quad \quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}.}$

Итоговый интервал времени:

${\displaystyle t=t_{1}+t_{2}.}$

Сравнение с гомановской траекторией

Дельта-v

Рисунок показывает полное значение ${\displaystyle \Delta v}$ , требуемое для перехода с круговой орбиты радиуса ${\displaystyle r_{1}}$ на другую круговую орбиту радиуса ${\displaystyle r_{2}}$ . Величина ${\displaystyle \Delta v}$ нормирована на орбитальную скорость начальной орбиты, ${\displaystyle v_{1}}$ и представлена в виде функции отношения радиусов конечной и начальной орбиты ${\displaystyle R\equiv r_{2}/r_{1}}$ ; таким образом, сопоставление величин является общим, не зависящим от ${\displaystyle r_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}}$ по отдельности, а только от их отношения .

Чёрная кривая показывает значение ${\displaystyle \Delta v}$ для гомановской траектории, цветные кривые соответствуют биэллиптическим траекториям с различными значениями параметра ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$ , определённого как расстояние апоцентра ${\displaystyle r_{b}}$ биэллиптической орбиты, делённое на радиус начальной орбиты, и указанного рядом с кривыми. На врезке крупным планом показана область, где кривые для биэллиптических траекторий пересекают кривую для гомановской орбиты первый раз.

Можно заметить, что гомановский перелёт является более эффективным при отношении радиусов ${\displaystyle R}$ меньшем 11,94. С другой стороны, если радиус итоговой орбиты более чем в 15,58 раз превышает радиус начальной орбиты, то любой биэллиптический переход вне зависимости от апоцентрического расстояния (оно должно всё же превышать радиус итоговой орбиты) требует меньшую ${\displaystyle \Delta v}$ чем гомановская траектория. В области от 11,94 до 15,58 эффективность той или иной орбиты зависит от апоцентрического расстояния ${\displaystyle r_{b}}$ . Для заданного ${\displaystyle R}$ в этом диапазоне существует значение ${\displaystyle r_{b}}$ , выше которого предпочтительна биэллиптическая траектория и ниже которого предпочтительна гомановская траектория. В следующей таблице указаны значения ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$ для некоторых случаев .

Минимум ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$ таков, что для биэллиптической траектории необходимо меньшее ${\displaystyle \Delta v}$ .

Отношение радиусов орбит, ${\displaystyle r_{2}/r_{1}}$	Минимум ${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$	Комментарий
0 — 11,94	-	Гомановский перелёт лучше
11,94	${\displaystyle \infty }$	Бипараболическая траектория
12	815,81
13	48,90
14	26.10
15	18,19
15,58	15,58
более 15,58	более ${\displaystyle r_{2}/r_{1}}$	Любая биэллиптическая траектория лучше

Время перелёта

Длительное время перелёта по биэллиптической орбите

${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}}$

является существенным недостатком такого орбитального манёвра. В случае бипараболической траектории время перелёта становится бесконечным.

Гомановский перелёт обычно требует меньше времени, поскольку движение происходит только по половине эллипса переходной орбиты:

${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$

Пример

Для перехода с низкой круговой орбиты радиуса r ₀ = 6700 км вокруг Земли на новую круговую орбиту радиуса r ₁ = 93 800 км при использовании гомановской траектории потребуется Δ v , равное 2825,02 + 1308,70 = 4133;72 м/с. Поскольку r ₁ = 14 r ₀ > 11,94 r ₀ , то биэллиптическая траектория позволит затратить меньшую Δ v . Если космическому аппарату сначала придать дополнительную скорость 3061,04 м/с, переведя таким образом на эллиптическую орбиту с апогеем при r ₂ = 40 r ₀ = 268 000 км, а затем в апогее придать ещё 608,825 м/с для достижения новой орбиты с перигеем на расстоянии r ₁ = 93 800 км, и в конце манёвра в перицентре второго участка переходной орбиты уменьшить скорость на 447,662 м/с, переведя аппарат на итоговую орбиту, то полное значение Δ v будет равно 4117,53 м/с, что на 16,19 м/с (0,4 %) меньше, чем при гомановской траектории.

Уменьшение значения Δ v можно усилить при увеличении промежуточного апогея, увеличив при этом время перелёта. Например, при апогее 75,8 r ₀ = 507 688 км (в 1,3 раза превышает среднее расстояние от Земли до Луны) уменьшение Δ v относительно гомановской траектории составит 1 %, но перелёт займёт 17 суток. В случае крайне большого расстояния в апоцентре, 1757 r ₀ = 11 770 000 км (в 30 раз превышает среднее расстояние от Земли до Луны) экономия составит 2 % по сравнению с гомановской орбитой, но перелёт займёт 4,5 года (без учёта гравитационных возмущений от других тел Солнечной системы). Для сравнения, перелёт по гомановской траектории займёт 15 часов 34 минуты.

Δ v для различных вариантов перелёта

Тип	Траектория Гомана	Биэллиптическая траектория
Апогей, км	93 800	268 000	507 688	11 770 000	∞
Добавка скорости 1 (м/с)	2825,02	3061,04	3123,62	3191,79	3194,89
Добавка скорости 2 (м/с)	1308,70	608,825	351,836	16,9336	0
Добавка скорости 3 (м/с)	0	−447,662	−616,926	−842,322	−853,870
Суммарное значение (м/с)	4133,72	4117,53	4092,38	4051,04	4048,76
Отношение	100 %	99,6 %	99,0 %	98,0 %	97,94 %

• Δ v направлено в сторону движения
• (отрицательное значение) Δ v направлено против движения

На биэллиптической орбите большая часть Δ v передаётся в первый момент, что вносит большой вклад в орбитальную энергию тела.

Примечания