Кера́льская школа астрономии и математики
— научная школа, которая существовала в Индии в XIV—XVII веках и внесла заметный вклад в
астрономию
и
математику
.
История
После завоевания мусульманами северной Индии в XI веке (
Махмуд Газневи
) центр научной деятельности индийцев переместился в южную провинцию
Керала
. Основателем школы стал
Мадхава из Сангамаграмы
. Среди других видных учёных керальской школы:
Последними представителями школы были в XVII веке
Ачьюта Пишарати
и
Нараяна Бхаттатири
. Свои результаты керальцы публиковали в трактатах (
сиддхантах
) на
санскрите
, излагая их чаще всего без доказательств, нередко стихами.
Преимущественным направлением исследований в Керале была
астрономия
, но при решении астрономических задач были сделаны важные математические открытия. В частности, опередив европейских математиков на два века, учёные школы получили разложение
тригонометрических функций
в
бесконечные степенные ряды
. В Европе их достижения долго оставались неизвестными и были обнаружены историками только в XIX веке
.
Научные достижения
Астрономия
Астрономы Керальской школы с высокой точностью измерили величину
предварения равноденствий
, а также продолжительность года, лунного месяца и других астрономических констант.
В 1500 году
Нилаканта Сомаяджи
в своей «Тантрасанграхе» предложил модификацию системы мира, ранее описанной
Ариабхатой
. В своей
Ариабхатавахьязе
, комментариях к
Ариабхатье
, он предложил модель, где планеты Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн обращаются вокруг Солнца, а оно, в свою очередь, вокруг Земли
. Эта
гео-гелиоцентрическая система
напоминает предложенную
Тихо Браге
в конце XVI века. Большинство астрономов Керальской школы приняли его модель.
Математика
Керальская школа, как и вся индийская математика, имела заметный вычислительный уклон. Например, учёные постоянно работали над вычислением
числа
со всё возрастающей точностью. Для астрономических вычислений им удалось впервые найти разложение
тригонометрических
и иных функций в бесконечные ряды. Общей теории таких разложений и дальнейшего продвижения в направлении
математического анализа
у керальцев не было.
Бесконечные ряды приводятся в четырёх керальских сиддхантах
:
-
«Научный справочник» (
Тантрасанграха
), опубликован Нилакантой.
-
«Техника действий» (
Каранападдхати
).
-
«Нить светящихся жемчужин» (
Садратанамала
).
-
«Объяснительный комментарий» (
Юкти-бхаша
), это комментарий к «
Тантрасанграхе
».
Кроме тригонометрических функций, в сиддхантах приводится разложение алгебраической дроби, впрочем, известное ещё
Ибн аль-Хайсаму
(XI век)
:
-
если
Разложения керальцами тригонометрических функций, вероятно, были получены ещё
Мадхавой
, но появились впервые в трактате Нилаканты «
Тантрасанграха
» и в современных обозначениях имели вид
:
-
где
-
-
При
ряды упрощаются и принимают более распространённый вид:
-
-
-
-
Для получения этих формул было проведено
спрямление
дуги окружности
. В Европе ряд для арктангенса впервые опубликовал
Джеймс Грегори
в 1671 году, а ряды для синуса и косинуса —
Исаак Ньютон
в 1666 году..
Из ряда для
арктангенса
легко получить
ряд для вычисления
числа
:
-
Ряд этот сходится медленно, поэтому для практических расчётов его преобразуют к виду
:
-
Как подсчитал Нилаканта,
Керальцы получили также из этих рядов довольно точные приближения числа
в виде дробей.
Из других математических достижений керальской школы можно упомянуть, что Нилаканта уверенно заявил о несоизмеримости
длины окружности
с её диаметром, то есть, выражаясь современным языком, что число
иррационально
.
См. также
Литература
-
История математики. С древнейших времен до начала Нового времени
// История математики / Под редакцией
А. П. Юшкевича
, в трёх томах. —
М.
: Наука, 1970. — Т. I.
-
Бахмутская Э. Я.
Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV - XVIII вв //
Историко-математические исследования
. —
М.
: Физматгиз, 1960. —
№ 13
. —
С. 325—334
.
-
Володарский А. И.
Очерки истории средневековой индийской математики. Либроком, 2009, 184 с. (Физико-математическое наследие: математика).
ISBN 978-5-397-00474-9
.
-
Паплаускас А. Б.
Доньютоновский период развития бесконечных рядов. Часть I //
Историко-математические исследования
. —
М.
: Наука, 1973. —
Вып. XVIII
. —
С. 104—131
.
-
Bressoud, David.
Was Calculus Invented in India? // The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.). — 2002. — Vol. 33,
№ 1
. — P. 2–13.
-
Roy, Ranjan.
Discovery of the Series Formula for
by Leibniz, Gregory, and Nilakantha // Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.). — 1990. — Vol. 63,
№ 5
. — P. 291–306.
Ссылки
-
, 2001.
-
,
MacTutor History of Mathematics archive
, 2002.
-
,
MacTutor History of Mathematics archive
, 2002.
-
,
MacTutor History of Mathematics archive
, 2002.
-
,
MacTutor History of Mathematics archive
, 2002.
-
phys.org,
2007
Примечания
-
↑
.
-
↑
Roy, Ranjan
. 1990. Discovery of the Series Formula for
by Leibniz, Gregory, and Nilakantha. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291-306.
-
Ramasubramanian, K.
(англ.)
//
(англ.)
(
: journal. —
Vol. 26
. —
P. 11—31 [23—4]
. —
Bibcode
:
.
9 октября 2017 года.
-
Singh, A. N.
On the Use of Series in Hindu Mathematics // Osiris. — 1936. —
Т. 1
. —
С. 606—628
. —
doi
:
.
-
Edwards, C. H., Jr. 1979.
The Historical Development of the Calculus
. New York: Springer-Verlag.
-
Bressoud, David
. Was Calculus Invented in India?
The College Mathematics Journal
(Mathematical Association of America). 33(1):2-13, 2002.
-
, с. 202—203.