В логике теория — это множество формул некоторого .

Как правило, интерес представляют лишь теории, содержащие некоторый минимальный набор формул ( аксиом ) и замкнутые относительно некоторых правил вывода, специфических для языка.

Термин теория чаще всего употребляется в контексте логики первого порядка , хотя он используется также и для неклассических логик . В контексте модальной логики для аналогичного понятия используются термины модальная логика и нормальная модальная логика (см. статью модальная логика ).

Теории логики первого порядка состоят из замкнутых формул.

С точки зрения теории моделей , теория объект чисто семантический, это некий инвариант модели или класс моделей. С другой стороны, аксиоматизация является компактным представленим теории с помощью различных синтаксических механизмов, таких как аксиомы и правила вывода.

Формулы, принадлежащие теории, называются её теоремами .

Полнота

Теория называется непротиворечивой , если она не совпадает со множеством всех формул.

Теория ${\displaystyle T}$ называется полной , если для любой формулы ${\displaystyle \varphi }$ либо ${\displaystyle \varphi \in T}$ , либо ${\displaystyle \neg \varphi \in T}$ .

Каждая модель первого порядка данной сигнатуры ${\displaystyle S}$ естественным образом порождает полную теорию:

${\displaystyle Th({\mathfrak {M}})=\{\varphi \in L(S)\mid {\mathfrak {M}}\models \varphi \}}$

(где ${\displaystyle L(S)}$ означает язык первого порядка для сигнатуры ${\displaystyle S}$ ).

Разрешимость

Теория называется разрешимой , если задача определения принадлежности данной формулы к этой теории является алгоритмичечски разрешимой.

Эквивалентное определение: теория называется разрешимой , если множество формул теории является рекурсивным .

См. также

• Теорема Гёделя о неполноте

Это заготовка статьи по математике . Помогите Википедии, дополнив её.