В экономической теории функция Леонтьева — производственная функция (либо функция полезности ), в которой факторы производства использованы в фиксированных пропорциях, поскольку факторы являются абсолютными комплементами . Функция названа в честь американского экономиста российского происхождения Василия Леонтьева . Функция Леонтьева является предельным случаем Функции CES — класса функций, обладающих свойством постоянной эластичности замещения .

В простейшем случае с двумя факторами производства имеем

${\displaystyle q={\text{Min}}\left({\frac {z_{1}}{a}},{\frac {z_{2}}{b}}\right)}$

где q есть количество продукции, z ₁ и z ₂ — количество затраченных факторов производства, a и b — определяемые технологией постоянные величины.

Пример применения

Предположим, что есть два фактора производства, «шины» и «рули». Фирма производит четырёхколёсные автомобили. В приведённой выше формуле величина q будет соответствовать количеству выпущенных машин, z ₁ и z ₂ — количеству использованных в производстве шин и рулей соответственно. Тогда функция Леонтьева принимает вид

Количество машин= Min{¼ от количества шин, 1 от количества рулей}.

Производственная функция

Функция Леонтьева используется в качестве производственной функции в модели Харрода — Домара :

${\displaystyle Y_{t}=min(AK_{t},BL_{t})}$ ,

где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — экзогенные производственные параметры, ${\displaystyle K}$ — капитал , ${\displaystyle L}$ — труд .

Р. Барро и Х. Сала-и-Мартин отмечают, что производственная функция Леонтьева (функция с фиксированными пропорциями) является частным случаем CES-функции :

${\displaystyle Y=A{\cdot }{\Big (}\alpha K^{\Psi }+(1-\alpha )L^{\Psi }{\Big )}^{\frac {\nu }{\Psi }}}$

в случае когда ${\displaystyle \Psi \to -\infty }$ она принимает вид функции Леонтьева:

${\displaystyle Y=F(L,K)=min(AK,BL)}$ ,

где ${\displaystyle A>0}$ и ${\displaystyle B>0}$ — константы.

Таким образом, при ${\displaystyle AK=BL}$ — все работники и машины загружены; при ${\displaystyle AK>BL}$ — капитал используется в объёме ${\displaystyle (B/A)L}$ , а оставшийся не востребован; при ${\displaystyle AK<BL}$ — объём труда используется в объеме ${\displaystyle (A/B)K}$ , а остальной остается безработным. Допущение об отсутствии взаимозаменяемости между капиталом и трудом приводит к тому, что существует или бесконечный рост безработицы или простой оборудования.

При подушевом рассмотрении производственная функция имеет вид :

${\displaystyle y=min(Ak,B)}$ ,

где ${\displaystyle y=Y/L}$ , ${\displaystyle k=K/L}$ .

При ${\displaystyle k<B/A}$ капитал полностью используется и ${\displaystyle y=Ak}$ , и кривая производственной функции пересекает ноль и имеет наклон ${\displaystyle A}$ .

При ${\displaystyle k>B/A}$ капитал постоянен и ${\displaystyle Y=BL}$ , ${\displaystyle y=B}$ . При ${\displaystyle k\to \infty }$ предельный продукт ${\displaystyle f^{'}(k)=0}$ , а значит условие Инады выполнено, производственная функция не генерирует эндогенный рост.

При ${\displaystyle k<B/A}$ форма кривой сбережения ${\displaystyle sf(k)/k}$ — прямая на уровне ${\displaystyle sA}$ , а при ${\displaystyle k>B/A}$ кривая сбережения стремится к нулю при ${\displaystyle k\to \infty }$ .

Кривая амортизация ${\displaystyle (n+\delta )}$ имеет форму горизонтальной прямой на уровне ${\displaystyle (n+\delta )}$ .

При низкой ставке сбережения ${\displaystyle sA<n+\delta }$ кривая сбережения не пересекает кривую амортизации, так что стационарного состояния ${\displaystyle k^{*}}$ нет, темп прироста капитала отрицателен, экономика сжимается ${\displaystyle k,y,c\to \infty }$ , в ней постоянно растущая безработица .

При высокой ставке сбережения ${\displaystyle sA>n+\delta }$ кривая сбережения приближается к нулю при ${\displaystyle k\to \infty }$ и пересекает кривую амортизации в точке устойчивого стационарного значения ${\displaystyle k^{*}>B/A>}$ , так что темп прироста капитала отрицателен при ${\displaystyle k>k^{*}}$ , а при ${\displaystyle k<k^{*}}$ положителен. При ${\displaystyle k^{>}*B/A}$ простаивает оборудование, часть капитала не востребована и монотонно возрастает, но при этом нет незанятых работников. Так как ${\displaystyle k}$ — константа в стационарном состоянии, то темп роста ${\displaystyle K}$ равен темпу роста ${\displaystyle L}$ и равен ${\displaystyle n}$ . Доля используемого оборудования постоянна, количество невостребованного оборудования растет с темпом ${\displaystyle n}$ . Стационарное состояние, в котором капитал и труд полностью востребованы в производстве, ${\displaystyle sA=n+\delta }$ .

См. также

• Функция Кобба — Дугласа
• Изокванта

Примечания

Литература

• Solow R. M. // The Quarterly Journal of Economics . — 1956. — Февраль (vol. 70, № 1 ). — P. 65—94.
• Allen R. G. D. Macro-economic Theory: A Mathematical Treatment (англ.) . — London: Macmillan, 1968. — P. 35.
• Барро Р. Д. , Сала-и-Мартин Х. . — М. : Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4 .
• Нуреев Р. М. . — М. : НОРМА, 2008. — 367 с. — ISBN 978-5-468-00159-2 .