В комбинаторике сочетанием из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$ называется набор из ${\displaystyle k}$ элементов, выбранных из ${\displaystyle n}$ -элементного множества , в котором не учитывается порядок элементов.

Соответственно, сочетания, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми — этим сочетания отличаются от размещений . Так, например, 3-элементные сочетания 2 и 3 ( (нестрогие) подмножества , для которых ${\displaystyle k=3}$ ) из 6-элементного множества 1 ( ${\displaystyle n=6}$ ) являются одинаковыми (в то время как размещения были бы разными) и состоят из одних и тех же элементов 1.

В общем случае всех возможных ${\displaystyle k}$ -элементных подмножеств ${\displaystyle n}$ -элементного множества стоит на пересечении ${\displaystyle k}$ -й диагонали и ${\displaystyle n}$ -й строки треугольника Паскаля .

Число сочетаний

Число сочетаний из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$ равно биномиальному коэффициенту

${\displaystyle {n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}.}$

При фиксированном ${\displaystyle n}$ производящей функцией последовательности чисел сочетаний ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}}$ , ${\displaystyle {\tbinom {n}{1}}}$ , ${\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}$ , … является

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}.}$

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний является

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(1+x)^{n}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.}$

Сочетания с повторениями

Сочетанием с повторениями из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$ называется такой ${\displaystyle k}$ -элементный набор из ${\displaystyle n}$ -элементного множества, в котором каждый элемент может участвовать несколько раз, но в котором порядок не учитывается ( мультимножество ). В частности, число монотонных неубывающих функций из множества ${\displaystyle \{1,2,\dots ,k\}}$ в множество ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ равно числу сочетаний с повторениями из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$ .

Число сочетаний с повторениями из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$ равно:

${\displaystyle {\overline {C_{n}^{k}}}=C_{(n)}^{k}=\left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)={\binom {n+k-1}{n-1}}={\binom {n+k-1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}.}$

При фиксированном ${\displaystyle n}$ производящая функция чисел сочетаний с повторениями из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$ равна

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left[(-1)^{k}{-n \choose k}\right]x^{k}=(1-x)^{-n}.}$

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{-n \choose k}x^{k}y^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(1-x)^{-n}y^{n}={\frac {1-x}{1-x-y}}.}$

См. также

Примечания

Ссылки

• _en . Перечислительная комбинаторика. — М. : Мир, 1990.