В математике , поточечная сходимость последовательности функций на множестве — это вид сходимости , при котором каждой точке данного множества ставится в соответствие предел последовательности значений элементов последовательности в этой же точке.

Функция, определяемая таким образом, называется предельной функцией данной последовательности или её поточечным пределом , при этом говорится, что данная последовательность сходится поточечно к предельной функции.

Более сильный вид сходимости — равномерная сходимость : если функциональная последовательность сходится равномерно , то эта последовательность также сходится и поточечно , но не наоборот. Для того, чтобы поточечный предел последовательности функций был равномерным, должен выполняться критерий Коши .

Понятие поточечной сходимости естественным образом переносится на и функциональные ряды .

Определение

Пусть ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ — последовательность функций вида ${\displaystyle f_{n}\colon X\to \mathbb {R} }$ ( ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ) где ${\displaystyle X}$ — область определения, единая для всех функций семейства.

Зафиксируем точку ${\displaystyle x\in X}$ и рассмотрим числовую последовательность вида ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }}$ .

Если у этой последовательности имеется (конечный) предел, то точке ${\displaystyle x}$ можно сопоставить предел этой последовательности, обозначив его ${\displaystyle f(x)}$ :

${\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ .

Если рассмотреть все точки множества ${\displaystyle E\subset X}$ , в которых указанный предел существует, то можно определить функцию ${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} }$ .

Таким образом определённая функция называется поточечным пределом последовательности функций семейства ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ на множестве ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle f_{n}\to f\quad \{E\}\Leftrightarrow \left(\forall x\in E\quad f_{n}(x)\to f(x)\quad n\to \infty \right)}$ ,

а про само семейство ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ говорят, что оно поточечно сходится к функции ${\displaystyle f}$ на множестве ${\displaystyle E}$ .

Свойства

Концепция поточечной сходимости в некотором смысле контрастирует с понятием равномерной сходимости . Конкретно,

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f}$ равномерно

равносильно

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in D\}=0.}$

Это утверждение более сильно, чем утверждение поточечной сходимости: каждая равномерно сходящаяся функциональная последовательность сходится поточечно к той же предельной функции, однако обратное, вообще говоря, неверно. Например,

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x^{n}=0}$ поточечно на интервале [0,1), но не равномерно на интервале [0,1).

Поточечный предел последовательности непрерывных функций может не являться непрерывной функцией, но только в том случае, если сходимость одновременно не является и равномерной. Например, функция

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\cos(\pi x)^{2n}}$

принимает значение 1, если x целое, и 0, если x не является целым, и поэтому не является непрерывной для целых чисел.

Значения функции f _n не должны обязательно быть вещественными, а могут принадлежать любому топологическому пространству с тем, чтобы концепция поточечной сходимости имела смысл. С другой стороны, равномерная сходимость не имеет, вообще говоря, смысла для функций, принимающих значения в топологических пространствах, однако имеет смысл в том частном случае, когда топологическое пространство снабжено метрикой .

Топология

Поточечная сходимость такая же, как сходимость в топологии произведения на пространстве Y ^X . Если Y компакт , то, по теореме Тихонова , пространство Y ^X также компакт.

В теории меры

В теории меры вводится понятие сходимости почти всюду последовательности измеримых функций , определённых на измеримом пространстве , которое означает сходимость почти всюду . Теорема Егорова утверждает, что поточечная сходимость почти всюду на множестве конечной меры влечёт равномерную сходимость на множестве лишь немного меньшем.

См. также

• Предел функции
• Равномерная сходимость