Экспоненциальная точная последовательность — фундаментальная короткая точная последовательность пучков , используемая в комплексной алгебраической геометрии .

Определение

Пусть ${\displaystyle M}$ — комплексное многообразие , ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}^{*}}$ — пучок голоморфных функций и его под пучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций. Комплексная экспонента задаёт отображение

${\displaystyle \exp :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},}$

которое является гомоморфизмом пучков абелевых групп . Это отображение локально сюръективно и имеет ядро ${\displaystyle 2\pi \mathbb {Z} }$ , что даёт экспоненциальную точную последовательность

${\displaystyle 0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0.}$

Свойства

Эта точная последовательность не сюръективна на глобальных сечениях , например, в проколотом диске , зато она продолжается до длинной точной последовательности когомологий пучков , которая начинается как

${\displaystyle 0\to H^{0}(\mathbb {Z} )\to H^{0}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{0}({\mathcal {O}}_{N}^{*})\to H^{1}(\mathbb {Z} )\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*}){\xrightarrow[{}]{c_{1}}}H^{2}(\mathbb {Z} )\to \cdots }$

где ${\displaystyle H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})}$ — группа Пикара , то есть группа классов изоморфизма линейных расслоений , а ${\displaystyle c_{1}}$ — первый класс Черна .

Примечания