Цепь Чуа
или
схема Чуа
— простейшая
электрическая цепь
, демонстрирующая режимы хаотических колебаний. Была предложена профессором Калифорнийского университета
в
1983 году
. Цепь состоит из двух
конденсаторов
, одной
катушки индуктивности
, линейного
резистора
и нелинейного резистора с отрицательным сопротивлением (обычно называемого
диодом Чуа
)
.
Содержание
Математическая модель
Систему уравнений для цепи изображённой на рисунке 1 можно получить используя
первое правило Кирхгофа
и формулу для напряжения на катушке индуктивности:
где
и
— напряжения на ёмкостях,
— ток через катушку идуктивности,
— кусочно-линейная функция характеризующая диод Чуа, определённая как
Эта нелинейная функция представлена графически на рисунке 2: крутизна внутреннего и внешнего участков есть
G
a
и
G
b
соответственно; при этом точки ±
Е
соответствуют изломам на графике.
Выполним следующие замены на безразмерные коэффициенты:
Основная система уравнений запишется в виде
где
Режимы работы
Цепь Чуа обнаруживает хаотические режимы колебаний в довольно узкой области параметров. Основные режимы колебаний условно показаны на рисунке 3.
В случае, когда параметры α и β принадлежат области, обозначенной на диаграмме цифрой
1
, в системе существуют два устойчивых положения равновесия
d
и −
d
и одно неустойчивое, находящееся в начале координат 0. В этом случае цепь Чуа в зависимости от начальных условий будет стремиться к одному из двух устойчивых положений равновесия.
В случае, когда параметры системы находятся в области помеченной цифрой
2
, в окрестности точки равновесия
d
или −
d
существует устойчивый
предельный цикл
. По мере приближения к границе с хаотическим режимом система претерпевает цикл удвоений периода вплоть до образования хаотического
аттрактора Рёсслера
. Приращение значений параметра перед наступлением каждой последующей бифуркации удвоения периода уменьшается согласно
соотношению Фейгенбаума
. При попадании параметров в область, помеченную цифрой
6
, образуется
странный аттрактор
(рисунок 4), называемый «двойной завиток» (
англ.
double scroll
). При этом типе поведения траектория система проходит в окрестности и верхнего, и нижнего положения равновесия. Внутри области существования аттрактора «двойной завиток» также существуют окна периодичности, подобные тем, которые существовали в области
аттрактора Рёсслера
. Отличием их является то, что периодическая орбита в этом случае охватывает оба положения равновесия.
Когда параметры α и β переходят в область, помеченную на рисунке 3 цифрой
11
, в колебательной системе наблюдаются колебания неограниченно нарастающей амплитуды вне зависимости от начальных условий. Поскольку диод Чуа реализуется на операционных усилителях, он имеет ограниченный динамический диапазон, и поэтому в системе существует также большой по размерам устойчивый
предельный цикл
, охватывающий все сегменты характеристики диода Чуа.
На рисунках 5, 6 показаны временные зависимости колебаний, обнаруживаемых данной системой.
Рисунок 4. Аттрактор типа двойной завиток. Фигура Лиссажу
i
L
от
v
С1
при L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9 Ф; C2 = 1Ф;
G
a
= −0,8 А/В;
G
b
= −0,5 А/В
Рисунок 5. Временная зависимость
v
C1
для случая L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9Ф; C2 = 1Ф;
G
a
= −0,8 А/В;
G
b
= −0,5 А/В
Рисунок 6. Временная зависимость
v
C2
для случая L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9 Ф; C2 = 1 Ф;
G
a
= −0,8 А/В;
G
b
= −0,5 А/В
Самовозбуждающиеся и скрытые аттракторы в цепи Чуа
В стандартных физических экспериментах запуск цепи Чуа при замыкании происходит из окрестности нулевых начальных данных. Гипотеза Чуа заключалась в том, что развитие хаоса в цепи и рождение аттрактора возможны только из неустойчивого нулевого состояния равновесия. К настоящему времени в цепи Чуа открыты сотни различных таких самовозбуждающихся аттракторов
.
В 2009 году
Н. В. Кузнецовым
была предложена идея построения скрытого аттрактора Чуа, который сосуществует с устойчивым состоянием равновесия и его область притяжения не касается состояний равновесия, поэтому выбор начальных данных для его визуализации не очевиден
. В дальнейшем были обнаружены различные конфигурации скрытых аттракторов в цепи Чуа и проведен бифуркационный анализ их рождения
.
Осциллятор Чуа
Термин «Осциллятор Чуа» используется для рассмотрения цепи Чуа с учётом активного сопротивления катушки индуктивности L. Данная схема имеет ещё большее число разнообразных режимов и может быть реализована практически (рисунок 7).
Принимая R
0
— активное сопротивление катушки индуктивности L, получим систему уравнений
Лёгкость практической реализации, а также наличие относительно простой
математической модели
делает цепь Чуа удобной моделью для изучения
хаоса
.
↑
Kuznetsov N. V.; Mokaev T. N.; Ponomarenko V. I.; Seleznev E. P.; Stankevich N. V.; Chua L. (2017).
(PDF)
.
Nonlinear Dynamics
.
doi
:
.
(PDF)
из оригинала
21 декабря 2022
. Дата обращения:
21 декабря 2022
.
Leonov G. A.; Vagaitsev V. I.; Kuznetsov N. V. (2011).
(PDF)
.
Physics Letters A
.
375
(23): 2230—2233.
Bibcode
:
.
doi
:
.
(PDF)
из оригинала
19 января 2022
. Дата обращения:
21 декабря 2022
.
Leonov G. A.; Kuznetsov N. V. (2013).
.
International Journal of Bifurcation and Chaos
.
23
(1): 1330002—219.
Bibcode
:
.
doi
:
.
Stankevich N. V.; Kuznetsov N. V.; Leonov G. A.; Chua L. (2017). "Scenario of the birth of hidden attractors in the Chua circuit".
International Journal of Bifurcation and Chaos
.
27
(12): 1730038—188.
arXiv
:
.
Bibcode
:
.
doi
:
.
S2CID
.
Бугаевский М. Ю., Пономаренко В. И.
. — Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. — 29 с.
Matsumoto, T.
, IEEE Transactions on Circuits & Systems,1984, vol. CAS-31, no. 12, pp. 1055—1058.
Chua, L. O., Komuro, M., Matsumoto, T.
, IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1986, vol. CAS-33, no. 11, pp. 1073—1118.
T. Matsumoto, L. O. Chua, M. Komuro.
, Physica D Volume 24 , Issue 1-3 (Jan/Feb 1987).
Stankevich N. V.; Kuznetsov N. V.; Leonov G. A.; Chua L. (2017). «Scenario of the birth of hidden attractors in the Chua circuit». International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 27 (12): 1730038-188
Н. В. Кузнецов.
// Известия РАН. Теория и Системы управления. — 2020. —
№ 5
. —
С. 5—27
. —
doi
:
.