Чевиана — отрезок в треугольнике , соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (или её продолжении) . Часто рассматриваются три таких отрезка, пересекающихся в одной точке, которые совместно называются чевианами. Название «чевиана» происходит от имени итальянского инженера Джованни Чевы , доказавшего известную теорему о чевианах, которая носит его имя . Медианы , биссектрисы и высоты треугольника являются специальными случаями чевиан.

Длина

Теорема Стюарта

Длину чевианы можно найти по теореме Стюарта — длина чевианы d (см. рисунок) задаётся формулой

${\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

Медиана

Если чевиана является медианой (то есть делит сторону пополам), длина может быть определена по формуле

${\displaystyle m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})}$

или

${\displaystyle 2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}$

поскольку

${\displaystyle a=2m.}$

Следовательно,

${\displaystyle d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.}$

Биссектриса

Если чевиана является биссектрисой , её длина удовлетворяет формуле

${\displaystyle \,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),}$

и

${\displaystyle d^{2}+mn=bc}$

откуда

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}$ ,

где полупериметр s = ( a+b+c )/2 .

Сторона a делится в пропорции b : c .

Высота

Если чевиана является высотой , а потому перпендикулярна стороне, её длина удовлетворяет формулам

${\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}}$

и

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},}$

где полупериметр s = ( a+b+c ) / 2.

Свойства отношений

Имеются различные свойства пропорций длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну общую внутреннюю точку . Для треугольника на рисунке справа выполняются равенства

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1;}$ ( Теорема Чевы )

${\displaystyle {\frac {AO}{OD}}={\frac {AE}{EC}}+{\frac {AF}{FB}};}$ ( Теорема Ван-Обеля о треугольнике )

${\displaystyle {\frac {OD}{AD}}+{\frac {OE}{BE}}+{\frac {OF}{CF}}=1;}$ (Теорема Жергонна )

${\displaystyle {\frac {AO}{AD}}+{\frac {BO}{BE}}+{\frac {CO}{CF}}=2.}$ (Теорема Жергонна )

Два последних свойства эквивалентны, поскольку сумма этих двух уравнений даёт тождество 1 + 1 + 1 = 3.

Делители периметра

Делители периметра треугольника — это чевиана, которая делит периметр пополам. Три таких делителя пересекаются в точке Нагеля треугольника.

Делители площади

Три делителя (пополам) площади треугольника — это его медианы.

Трисектрисы

Если в каждой вершине треугольника проведены две чевианы, делящие углы на три равные части, то шесть чевиан пересекаются попарно, образуя правильный треугольник , называемый треугольником Морли .

Площадь внутреннего треугольника, образованного чевианами

Теорема Рауса определяет отношение площади заданного треугольника к площади треугольника, образованного попарным пересечением трёх чевиан, по одной из каждой вершины.

См. также

• Биссектриса
• Высота треугольника
• Инцентр
• Симедиана
• Теорема Менелая
• Центроид

Примечания

Литература