В теории потребителя спрос Хикса отражает те наборы, которые потребитель выберет при заданных ценах и уровне полезности, решая задачу минимизации своих расходов . Назван по имени английского экономиста Хикса . Также называют компенсированным спросом .

Математическая запись

${\displaystyle h(p,{\bar {u}})=\arg \min _{x}\sum _{i}p_{i}x_{i},}$

${\displaystyle {\text{при}}\ \ u(x)\geq {\bar {u}},}$

где h ( p , u ) — спрос Хикса при ценах p и значении функции полезности ${\displaystyle {\bar {u}}}$ .

В случае когда известна функция расходов ${\displaystyle e(p,u)}$ и она непрерывна в точке ${\displaystyle ({\bar {p}},\ {\bar {u}})}$ , компенсированный спрос может быть найден по лемме Шепарда и выглядит следующим образом: ${\displaystyle h_{i}({\bar {p}},\ {\bar {u}})=\nabla _{p}e({\bar {p}},\ {\bar {u}}).}$

Двойственность в теории потребления

Удобство подхода Хикса заключается в том, что минимизируемая функция расходов имеет линейный вид, но переменные для функции маршалловского спроса ( p , w ), легче наблюдать на практике.

Если предпочтения потребителя являются непрерывными и функция полезности задана в нуле так, что ${\displaystyle {\bar {u}}>u(0)}$ , то спрос по Хиксу ${\displaystyle {\tilde {x}}({\tilde {p}},\ {\bar {u}})}$ является решением задачи максимизации полезности при ценах ${\displaystyle {\tilde {p}}}$ и доходе ${\displaystyle {\tilde {I}}=e({\tilde {p}},\ {\bar {u}}))}$ , где e (•) — функция расходов . При этом ${\displaystyle v(e({\tilde {p}},\ {\bar {u}}))={\bar {u}}}$ .

Обратное тоже имеет место, но при других условиях. Если предпочтения являются , то маршалловский спрос ${\displaystyle {\tilde {x}}({\tilde {p}},\ {\tilde {I}})}$ является решением задачи минимизации расходов ${\displaystyle {\tilde {x}}({\tilde {p}},\ v({\tilde {p}},\ {\tilde {I}}))}$ и ${\displaystyle e({\tilde {p}},\ v({\tilde {p}},\ {\tilde {I}}))={\tilde {I}}}$ .

Свойства

При условии непрерывности функции полезности ${\displaystyle u(x)}$ и задания её в нуле таким образом, что ${\displaystyle {\bar {u}}>u(0)}$ , спрос Хикса ${\displaystyle h(p,u)}$ обладает следующими свойствами:

1. Однородность нулевой степени по ценам p : для всех ${\displaystyle a>0}$ , ${\displaystyle h(ap,\ u)=h(p,\ u)}$ , так как набор x , минимизирующий сумму ${\displaystyle \sum p_{i}x_{i}}$ , также минимизирует сумму ${\displaystyle \sum ap_{i}x_{i}}$ при том же бюджетном ограничении.
2. Ограничение ${\displaystyle u(x)\geq {\bar {u}}}$ удовлетворяется как равенство: ${\displaystyle \forall x^{*}\in h(p,\ {\bar {u}})u(x^{*})={\bar {u}}}$ . Это следует из непрерывности функции полезности, так как можно тратить меньше на некое δe и уменьшать значение полезности на δu, пока оно не станет равным в точности ${\displaystyle {\bar {u}}}$ .
3. Если предпочтения выпуклы , то ${\displaystyle h(p,\ {\bar {u}})}$ — выпуклое множество .
4. Если предпочтения , то ${\displaystyle h(p,\ {\bar {u}})}$ состоит из одного элемента (является функцией компенсированного спроса).
5. Имеет место :

${\displaystyle \forall x'\in h(p',\ {\bar {u}}),\ \ x''\in h(p'',\ {\bar {u}}):\ \ (p'-p'')(x'-x'')<0.}$

См. также

• Задача потребителя
• Маршалловский спрос

Литература

• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М. : Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — С. 71. — ISBN 978-5-7598-0335-5 . .