Первичный идеал является обобщением понятия простого числа в кольце целых чисел на произвольные (некоммутативные) кольца . Понятие простого идеала является частным случаем этого понятия.

Определение

Первичным идеалом полугруппы или кольца ${\displaystyle A}$ называется всякий идеал ${\displaystyle P}$ (не совпадающий с A), такой, что если два элемента ${\displaystyle a,b\in A}$ таковы, что ${\displaystyle \forall r\in A\ arb\in P}$ , то либо ${\displaystyle a\in P}$ , либо ${\displaystyle b\in P}$ .

Свойства

Следующие условия эквивалентны первичности идеала P ≠ R кольца R :

• Для любых a , b ∈ R , если ( a )( b ) ⊆ P , то a ∈ P или b ∈ P .
• Для любых правых идеалов A , B кольца R , если AB ⊆ P , то A ⊆ P или B ⊆ P .
• Для любых левых идеалов A , B кольца R , если AB ⊆ P , то A ⊆ P или B ⊆ P .
• Для любых a , b ∈ R , если aRb ⊆ P , то a ∈ P или b ∈ P .

Понятие первичного идеала кольца является обобщением понятия простого идеала кольца. В случае коммутативных колец оба понятия совпадают.

См. также

• Простой идеал
• Примарный идеал

Литература

• Ламбек И. Кольца и модули. — 3-е изд. — М. : Мир, 1971. — 278 с.