Диспе́рсия случа́йной величины́
— мера разброса значений
случайной величины
относительно её
математического ожидания
. Обозначается
в русской литературе и
(
англ.
variance
) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение
или
.
Квадратный корень из дисперсии, равный
, называется
среднеквадратическим отклонением
, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же
единицах
, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
Из
неравенства Чебышёва
следует, что
вероятность
того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на
стандартных отклонений, составляет менее
. В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей
нормальное распределение
, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.
Определение
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Пусть
— случайная величина, определённая на некотором
вероятностном пространстве
. Тогда дисперсией называется
-
где символ
обозначает
математическое ожидание
.
Замечания
-
Если случайная величина
дискретная
, то
-
-
где
—
-ое значение случайной величины,
—
вероятность
того, что случайная величина принимает значение
,
— количество значений, которые принимает случайная величина.
Доказательство 2-й формулы
-
Если случайная величина
непрерывна
, то:
-
-
,
где
—
плотность вероятности
случайной величины.
-
В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
-
-
Дисперсия является вторым
центральным моментом
случайной величины.
-
Дисперсия может быть бесконечной.
-
Дисперсия может быть вычислена с помощью
производящей функции моментов
:
-
-
Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью
производящей функции последовательности
.
-
Формула для вычисления смещённой
оценки дисперсии
случайной величины
по последовательности реализаций этой случайной величины:
имеет вид:
-
, где
— выборочное среднее (несмещённая оценка
).
-
Для получения несмещённой оценки дисперсии случайной величины значение
необходимо умножить на
. Несмещённая оценка имеет вид:
-
Свойства
-
Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
-
Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
-
Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю:
Верно и обратное: если
то
почти всюду
.
-
Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
-
, где
— их
ковариация
.
-
Для дисперсии произвольной
линейной комбинации
нескольких случайных величин имеет место равенство:
-
, где
.
-
В частности,
для любых
независимых
или
некоррелированных
случайных величин, так как их ковариации равны нулю.
-
-
-
-
Если
— случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то
-
Условная дисперсия
Наряду с
условным математическим ожиданием
в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин
.
Условной дисперсией случайной величины
относительно случайной величины
называется случайная величина:
-
.
Её свойства:
-
условная дисперсия относительно случайной величины
является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно
сигма-алгебры
, порождённой случайной величиной
);
-
условная дисперсия неотрицательна:
;
-
условная дисперсия
равна нулю тогда и только тогда, когда
почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда
совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с
);
-
обычная дисперсия также может быть представлена как условная:
;
-
если величины
и
независимы, случайная величина
является константой, равной
;
-
если
— две числовые случайные величины, то
-
-
откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания
всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины
.
Пример
Пусть случайная величина
имеет стандартное
непрерывное равномерное распределение
на
, то есть её
плотность вероятности
задана равенством
-
Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины равно
-
,
и математическое ожидание случайной величины равно
-
Дисперсия случайной величины равна
-
См. также
Примечания
-
Колмогоров А. Н.
Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева
// Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. —
М.
: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.
-
Боровков А. А.
Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия
// Теория вероятностей. — 5-е изд. —
М.
: Либроком, 2009. — С. 93—94. — 656 с.
Литература
-
Гурский Д., Турбина Е.
. —
СПб.
: Питер, 2005. — С. 340. —
ISBN 5469005259
.
-
Орлов А. И.
// Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. —
М.
: МЗ-Пресс, 2004.