Кванти́ли распределе́ния хи-квадра́т — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики таких как построение доверительных интервалов , проверка статистических гипотез и непараметрическое оценивание.

Квантиль хи-квадрат — это число (величина хи-квадрат), при котором функция распределения хи-квадрат равна заданной (затребованной) вероятности а .

Равенство функции распределения хи-квадрат вероятности а означает, что с вероятностью а будут наблюдаться значения хи-квадрат, не большие, чем найденный (определенный согласно функции распределения) квантиль хи-квадрат. Таким образом, найти квантиль означает разграничить распределения хи-квадрат согласно заданной вероятности а .

Определение

Пусть ${\displaystyle F_{n}}$ — функция распределения хи-квадрат ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$ с ${\displaystyle n}$ степенями свободы, и ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ . Тогда ${\displaystyle \alpha }$ -квантилем этого распределения называется число ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ такое, что

${\displaystyle F_{n}\left(\chi _{\alpha ,n}^{2}\right)=\alpha }$ .

Замечания

• Прямо из определения следует, что случайная величина , имеющая распределение хи-квадрат с ${\displaystyle n}$ степенями свободы, не превышает значение ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ с вероятностью ${\displaystyle \alpha }$ и превышает его с вероятностью ${\displaystyle 1-\alpha }$ .
• Функция ${\displaystyle F_{n}}$ строго возрастает для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ . Следовательно, определена её обратная функция ${\displaystyle F_{n}^{-1}}$ , и

${\displaystyle F_{n}^{-1}(\alpha )=\chi _{\alpha ,n}^{2}}$ .

• Функция ${\displaystyle F_{n}^{-1}}$ не имеет простого представления. Однако, возможно вычислить её значения численно.

Аппроксимация квантилей

Для получения приближённых значений квантилей распределения хи-квадрат ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ существует целый ряд аппроксимаций. Их обзор и сравнение даны в статье: Zar (1978) . Две из них приведены ниже.

• Аппроксимация Корниша — Фишера :

${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}\approx n+A{\sqrt {n}}+B+{\frac {C}{\sqrt {n}}}+{\frac {D}{n}}+{\frac {E}{n{\sqrt {n}}}}}$ ,

где:

${\displaystyle A=d{\sqrt {2}}}$ ,

${\displaystyle B={\frac {2}{3}}\left({{d}^{2}}-1\right),}$

${\displaystyle C=d\cdot {\frac {{{d}^{2}}-7}{9{\sqrt {2}}}},}$

${\displaystyle D={\frac {6{{d}^{4}}+14{{d}^{2}}-32}{405}},}$

${\displaystyle E=d\cdot {\frac {9{{d}^{4}}+256{{d}^{2}}-433}{4860{\sqrt {2}}}},}$

${\displaystyle d\equiv \Phi ^{-1}(\alpha )={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2\alpha -1).}$

Здесь ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ — обратная функция Лапласа, называемая также нормальной квантильной функцией или пробит-функцией , а ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}}$ — обратная функция ошибок . Для этих функций, в свою очередь, имеются аппроксимации. Например, использовалась следующая аппроксимация:

${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )\approx 2.0637\cdot {{\left(\ln {\frac {1}{1-\alpha }}-0.16\right)}^{0.4274}}-1.5774}$ при ${\displaystyle 0.5\leq \alpha \leq 0.999,}$

${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )\approx -2.0637\cdot {{\left(\ln {\frac {1}{\alpha }}-0.16\right)}^{0.4274}}+1.5774}$ при ${\displaystyle 0.001\leq \alpha <0.5}$ .

Более точное приближение даёт использование аппроксимации Виницкого для обратной функции ошибок:

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}x\approx \operatorname {sign} x\,\left[-{\frac {2}{a\pi }}-{\frac {\operatorname {ln} (1-x^{2})}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {2}{a\pi }}+{\frac {\operatorname {ln} (1-x^{2})}{2}}\right)^{2}-{\frac {\operatorname {ln} (1-x^{2})}{a}}}}\right]^{1/2},}$

где ${\displaystyle a}$ — подгоночный параметр. Относительная погрешность формулы Виницкого с параметром ${\displaystyle a=0.147}$ не превышает 0.002 для всех ненулевых значений ${\displaystyle x\in (-1,1).}$

• Аппроксимация Голдштейна :

${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}=n\cdot {{\left[\sum \limits _{i=0}^{6}{{{n}^{-{\frac {i}{2}}}}\cdot {{d}^{i}}\cdot \left({{a}_{i}}+{\frac {{b}_{i}}{n}}+{\frac {{c}_{i}}{{n}^{2}}}\right)}\right]}^{3}}}$ ,

где d определяется аналогично, а коэффициенты a, b,c приведены в таблице

a	b	c
1.0000886	-0.2237368	-0.01513904
0.4713941	0.02607083	-0.008986007
0.0001348028	0.01128186	0.02277679
-0.008553069	-0.01153761	-0.01323293
0.00312558	0.005169654	-0.006950356
-0.0008426812	0.00253001	0.001060438
0.00009780499	-0.001450117	0.001565326

Таблица квантилей

Нижеприведённая таблица получена с помощью функции от 4 декабря 2009 на Wayback Machine пакета MATLAB .

Также квантили можно получить с помощью других программных средств:

• пакет LibreOffice , электронная таблица Calc, функция от 14 ноября 2012 на Wayback Machine .
• библиотека scipy для языка python , функция от 7 марта 2016 на Wayback Machine

Чтобы получить значение ${\displaystyle \chi _{\alpha ,n}^{2}}$ , необходимо найти строку, соответствующую нужному ${\displaystyle n}$ , и колонку, соответствующую нужному ${\displaystyle \alpha }$ . Искомое число находится в таблице на их пересечении.
Например:

${\displaystyle \chi _{0.025,10}^{2}=3.2470}$ ;

${\displaystyle \chi _{0.975,10}^{2}=20.4832}$ .

См. также

• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки .

Примечания