Душа риманова многообразия ${\displaystyle (M,g)}$ — компактное подмногообразие , являющееся его деформационным ретрактом .

Обычно предполагается, что ${\displaystyle (M,g)}$ — полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

Примеры

• Любое компактное многообразие является своей душой.

• У евклидовa пространствa R ⁿ любая точка является его душой.

• У параболоида M = {( x , y , z ) : z = x ² + y ² }, начало координат (0,0,0) — душа M . При этом не любая точка x , принадлежащая M , является его душой, так как могут существовать геодезические петли, начинающиеся в точке x .

• У бесконечного цилиндра M = {( x , y , z ) : x ² + y ² = 1} любая «горизонтальная» окружность {( x , y , z ) : x ² + y ² = 1} с фиксированной z является душой M .

История

Термин душа введён и в 1972 году в статье, где они, в частности, доказали теорему о душе . Теорема обобщала более раннюю теорему Громола и Мейера . В той же статье Чигером и Громолом сформулирована гипотеза о душе . Короткое доказательство этой гипотезы было дано Григорием Перельманом в 1994 году .

Свойства

Ниже предполагаем, что ${\displaystyle (M,g)}$ — это полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

• Теорема о душе утверждает:

  Всякое ( M , g ) имеет душу S . Более того, многообразие M диффеоморфно нормальному расслоению над S .

• Душа, вообще говоря, не определяется однозначно многообразием ( M , g ), но любые две души ( M , g ) изометричны . Последнее доказал Шарафутдинов в 1979 году , построив так называемую ретракцию Шарафутдинова ; это 1-липшицев деформационный ретракт ${\displaystyle (M,g)\to S}$ .

• Ретракция Шарафутдинова ${\displaystyle (M,g)\to S}$ является римановой субмерсией . В частности, если ${\displaystyle (M,g)}$ имеет хоть одну точку со строго положительной секционной кривизной, то его душа есть точка и само многообразие гомеоморфно евклидову пространству.

Связанные открытые вопросы

• Гипотеза о двойной душе утверждает , что любое компактное многообразие неотрицательной секционной кривизны можно покрыть двумя расслоениями на диски.

Примечания