Interested Article - Звезда Ходжа

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q -векторов в пространство ( n − q )-форм . Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q -форм и q -векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q.

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем .

Определение

Вспомогательные определения

Определим форму объёма

где — неотрицательный скаляр на многообразии , а полностью антисимметричный символ . . Даже в отсутствие метрики, если , можно определить контравариантные компоненты формы объёма.

здесь антисимметричный символ совпадает .

В присутствии метрики с поднятыми индексами может отличаться от на знак: . Здесь и далее

Введём операцию антисимметризации :

. Суммирование ведётся по всем перестановкам индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности . Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: ; .

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

.

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки только по упорядоченным наборам не деля на , это связано с тем, что разные наборы индексов , отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа

Используя форму объёма и поливектор , можно ввести операцию , превращающую поливектор степени в дифференциальную форму степени , и обратную операцию , превращающую форму степени в поливектор степени

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа . В компонентах она выглядит следующим образом:

Поскольку и , то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов и введём пару операторов: и , отличающихся от них знаком.

Звезда Ходжа в присутствии метрики

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика . Обозначим .

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой называется форма В компонентах:

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

Поэтому мы можем установить взаимно однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами.

Дополнительные операторы

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции , понижающий степень поливектора на 1:

В присутствие метрики оператор дивергенции выражается через оператор ковариантной производной , определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности :

Иногда операцию ( внешнюю производную ) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию — дивергенцией. Для 1-формы операция задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма )

Лапласиан от -формы определяется формулой:

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа — Бельтрами :

Для скаляра . Если , то по формуле Бохнера для произвольной метрики в появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае

где тензор Риччи , построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

Источники

  • Лекции М. Г. Иванова по курсу «Геометрические методы в классической теории поля».
Источник —

Same as Звезда Ходжа