Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях , двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах .

Двоичная запись чисел

В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов ( 0 и 1 ). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 5 ₁₀ , в двоичной 101 ₂ . Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд) , например 0b101 или соответственно &101 .

В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 101 ₂ произносится «один ноль один».

Натуральные числа

Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как ${\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}}$ , имеет значение:

${\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k},}$

где:

• ${\displaystyle n}$ — количество цифр (знаков) в числе,
• ${\displaystyle a_{k}}$ — значения цифр из множества {0,1},
• ${\displaystyle k}$ — порядковый номер цифры.

Отрицательные числа

Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления ${\displaystyle (-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}}$ , имеет величину:

${\displaystyle (-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k}.}$

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде .

Дробные числа

Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как ${\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}}$ , имеет величину:

$${\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},}$$

где:

• ${\displaystyle m}$ — количество цифр дробной части числа,
• ${\displaystyle a_{k}}$ — значения цифр из множества ${\displaystyle \{0,1\}}$ .

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел

Таблица сложения

+	0	1
0	0	1
1	1	0 (перенос 1 в старший разряд)

Таблица вычитания

-	0	1
0	0	1
1	1(заём из старшего разряда)	0

Пример сложения «столбиком» (десятичное выражение 14 ₁₀ + 5 ₁₀ = 19 ₁₀ в двоичном виде выглядит как 1110 ₂ + 101 ₂ = 10011 ₂ ):

+		1	1	1	0
			1	0	1
	1	0	0	1	1

Таблица умножения

×	0	1
0	0	0
1	0	1

Пример умножения «столбиком» (десятичное выражение 14 ₁₀ * 5 ₁₀ = 70 ₁₀ в двоичном виде выглядит как 1110 ₂ * 101 ₂ = 1000110 ₂ ):

×				1	1	1	0
					1	0	1
+				1	1	1	0
		1	1	1	0
	1	0	0	0	1	1	0

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

1024

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, дано двоичное число 110001 ₂ . Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:

1 * 2 ⁵ + 1 * 2 ⁴ + 0 * 2 ³ + 0 * 2 ² + 0 * 2 ¹ + 1 * 2 ⁰ = 49

То же самое чуть иначе:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	0	0	0	1
				+32	+16	+0	+0	+0	+1

Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110001 ₂ равнозначно десятичному 49 ₁₀ .

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010,101 ₂ в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

1 * 2 ⁶ + 0 * 2 ⁵ + 1 * 2 ⁴ + 1 * 2 ³ + 0 * 2 ² + 1 * 2 ¹ + 0 * 2 ⁰ + 1 * 2 ⁻¹ + 0 * 2 ⁻² + 1 * 2 ⁻³ = 90,625

То же самое чуть иначе:

1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625

Или по таблице:

64	32	16	8	4	2	1		0.5	0.25	0.125
1	0	1	1	0	1	0	,	1	0	1
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0		+0.5	+0	+0.125

Преобразование методом Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.

Например, двоичное число 1011011 ₂ переводится в десятичную систему так:

0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91

То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.

Перевод дробной части чисел методом Горнера

Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).

Например 0,1101 ₂

(0 + 1 )/2 = 0,5
(0,5 + 0 )/2 = 0,25
(0,25 + 1 )/2 = 0,625
(0,625 + 1 )/2 = 0,8125

Ответ: 0,1101 ₂ = 0,8125 ₁₀

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться делением с остатком :

19/2 = 9 с остатком 1
9/2 = 4 c остатком 1
4/2 = 2 без остатка 0
2/2 = 1 без остатка 0
1/2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т. д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011 .

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

• Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
• В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
• Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206 ₁₀ =11001110 ₂ по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

0,116 • 2 = 0 ,232
0,232 • 2 = 0 ,464
0,464 • 2 = 0 ,928
0,928 • 2 = 1 ,856
0,856 • 2 = 1 ,712
0,712 • 2 = 1 ,424
0,424 • 2 = 0 ,848
0,848 • 2 = 1 ,696
0,696 • 2 = 1 ,392
0,392 • 2 = 0 ,784
и т. д.

Таким образом 0,116 ₁₀ ≈ 0, 0001110110 ₂

Получим: 206,116 ₁₀ ≈ 11001110,0001110110 ₂

Применения

В цифровых устройствах

Двоичная система используется в цифровых устройствах , поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора ,

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде . Например, число −5 ₁₀ может быть записано как −101 ₂ но в 32-битном компьютере будет храниться как 11111111111111111111111111111011 ₂ .

Обобщения

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Число может быть записано в двоичном коде , а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование , в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

История

• Полный набор из 8 триграмм и 64 гексаграмм , аналог 3-битных и 6-битных цифр, был известен в древнем Китае в классических текстах книги Перемен . Порядок гексаграмм в книге Перемен , расположенных в соответствии со значениями соответствующих двоичных цифр (от 0 до 63), и метод их получения был разработан китайским учёным и философом Шао Юн в XI веке . Однако нет доказательств, свидетельствующих о том, что Шао Юн понимал правила двоичной арифметики, располагая двухсимвольные кортежи в лексикографическом порядке .
• Индийский математик Пингала ( 200 год до н. э. ) разработал математические основы для описания поэзии с использованием первого известного применения двоичной системы счисления .

• Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах ( Перу , Боливия ) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу , состоявшая как из числовых записей десятичной системы , так и не числовых записей в двоичной системе кодирования . В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных . Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта , как двойная запись .
• Наборы, представляющие собой комбинации двоичных цифр, использовались африканцами в традиционных гаданиях (таких как Ифа ) наряду со средневековой геомантией .
• В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам (см. Шифр Бэкона ).

• Современная двоичная система была полностью описана Лейбницем в XVII веке в работе Explication de l’Arithmétique Binaire . В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени .

• В 1854 году английский математик Джордж Буль опубликовал знаковую работу, описывающую алгебраические системы применительно к логике , которая в настоящее время известна как Булева алгебра или алгебра логики . Его логическому исчислению было суждено сыграть важную роль в разработке современных цифровых электронных схем.
• В 1937 году Клод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT , в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника .
• В ноябре 1937 года Джордж Штибиц , впоследствии работавший в Bell Labs , создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. « K itchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами . Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа . Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман , Джон Мокли и Норберт Винер , впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.

См. также

• Битовые операции
• Степень двойки
• Системы счисления
• Бит
• Байт
• Единицы измерения информации
• Двоичные логические элементы
• Двоичный триггер
• Двоично-десятичный код
• Двоичное кодирование
• Азбука Морзе

Примечания

Ссылки

• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
• от 21 февраля 2011 на Wayback Machine
• .
• Фомин С. В. . — М. : Наука , 1987. — 48 с. — ( Популярные лекции по математике ). ( ), ( )
• . — Саратов: Саратовский гос. технический ун-т , 2009. — 24 с.
• Любомудров А.А. . — М. : НИЯУ МИФИ , 2009. — 28 с.
• Андреева Е. В. . — М. : Бином. Лаб. знаний, 2004. — 254 с.
• 
• 
• — визуальное объяснение принципа работы позиционных систем счисления (в частности, двоичной)