Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто , то есть что всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Не существует строго алгебраического доказательства теоремы — все имеющиеся доказательства привлекают неалгебраические концепции вроде полноты множества вещественных чисел или топологии комплексной плоскости . К тому же теорема не является «основной» в современной алгебре — она получила это название во времена, когда основным направлением алгебры был поиск решений алгебраических уравнений .

Доказательство

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа . Используется тот факт ( теорема Лиувилля ), что ограниченная функция , аналитическая на всей комплексной плоскости ( целая функция ) и не имеющая особенностей на бесконечности, — константа. Поэтому функция ${\displaystyle 1/p(z)}$ , где ${\displaystyle p(z)}$ — многочлен, не сводящийся к константе, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен ${\displaystyle p(z)}$ имеет хотя бы один корень.

Следствие

Прямым следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени ${\displaystyle n}$ над полем комплексных чисел имеет в нём ровно ${\displaystyle n}$ корней, с учётом их кратности .

Доказательство следствия

Случай ${\displaystyle n=0}$ очевиден, поэтому сразу переходим к случаю ${\displaystyle n>0}$ . У данного многочлена ${\displaystyle f(x)}$ тогда есть корень ${\displaystyle a}$ , что по определению корня многочлена (в школьной математике обычно ссылаются на теорему Безу , чтобы отождествлять определения многочлена и соответствующего уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ ), означает представи́мость в виде ${\displaystyle (x-a)g(x)}$ , где ${\displaystyle g(x)}$ — некоторый многочлен, степень которого на 1 меньше степени ${\displaystyle f(x),}$ и у него по основной теореме алгебры тоже будет хотя бы один корень, который может не равняться ${\displaystyle a,}$ а может и совпасть с ${\displaystyle a}$ (в последнем случае корень ${\displaystyle a}$ окажется кратным). Приме́ним теорему Безу к ${\displaystyle g(x)}$ и будем индуктивно использовать её таким же образом до тех пор, пока на месте ${\displaystyle g(x)}$ не окажется многочлен первой степени.

История

История теоремы впервые получает развитие у немецкого математика (?—1617). В своём трактате « Arithmetica Philosophica » (1608) он высказал предположение о том, что многочлен степени ${\displaystyle n}$ не может иметь более ${\displaystyle n}$ корней . Более смелую формулировку дал Альбер Жирар в труде « Новое открытие в алгебре » ( 1629 ): уравнение степени ${\displaystyle n}$ должно иметь ровно ${\displaystyle n}$ корней, действительных (включая отрицательные ) или «воображаемых» (последний термин обозначал комплексные невещественные корни, пользу от которых Жирар особо оговорил). Однако Жирар сделал оговорку: эта теорема может быть неверна, если уравнение «неполное», то есть некоторые коэффициенты равны нулю. Взгляды Рота и Жирара опередили своё время и широкой известности не получили .

Декарт в труде « Геометрия » ( 1637 ) использовал следующую формулировку: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней, или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений»; далее он тоже делает оговорку: «хотя всегда можно вообразить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням» .

Маклорен и Эйлер уточнили формулировку теоремы, придав ей форму, эквивалентную современной: всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами. Д’Аламбер первым в 1746 году представил доказательство этой теоремы, которое было опубликовано в 1748 году ; оно, однако, основывалось на лемме, доказанной только в 1851 году, причём доказанной с использованием основной теоремы алгебры. В 1749 году было представлено, а в 1751 году — опубликовано доказательство Эйлера , при этом работал он над данной проблемой почти в то же время, что и Д’Аламбер . Также во второй половине XVIII века появляются доказательства Лагранжа (1772) , Лапласа (1795) и других. Все эти доказательства тоже опирались на недоказанные предположения — например, Эйлер считал очевидным, что вещественный многочлен нечётной степени непременно имеет вещественный корень, а Лаплас предположил без доказательства, что все корни многочлена либо вещественные, либо комплексные невещественные .

Гаусс в 1799 году дал своё доказательство, однако использовал то же предположение, что и Эйлер; впоследствии он не раз возвращался к этой теме и дал ещё три доказательства, основанные на различных идеях, однако всегда привлекающие средства неалгебраического характера . Первое полное и строгое доказательство было представлено Жаном Арганом в 1814 году; в 1816 году строгое доказательство опубликовал и Гаусс .

В 2007 году показал, что предположение о том, что многочлены нечётной степени с действительными коэффициентами имеют корни, сильнее, чем необходимо; любое поле, в котором многочлены простой степени имеют корни, алгебраически замкнуто (поэтому «нечётное» можно заменить на «нечётное простое», и, кроме того, это верно для полей любой характеристики ) .

См. также

• Основная теорема анализа
• Основная теорема арифметики

Примечания

Литература

• Алгебры основная теорема // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1977. — Т. 1. — С. 199—200.
• Алексеев В. Б. // Математическое просвещение . — МЦНМО , 2001. — С. 192 . 8 октября 2010 года.
• Башмакова И.Г. О доказательстве основной теоремы алгебры // Историко-математические исследования / Под редакцией Г. Ф. Рыбкина, А. П. Юшкевича . — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — Вып. X . — С. 257—304 .
• Ван дер Варден . Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб. : Мир, 1975. — 649 с.
  • Переиздание: СПб, Лань, 2004, ISBN 5-8114-0552-9 , 624 с.
• // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. II.
• Тихомиров В. М., Успенский В. В. // Математическое просвещение . — МЦНМО , 1997. — № 1 . — С. 50—70 .
• Almira, J.M.; Romero, A. (2012), (PDF) , Differential Geometry – Dynamical Systems , vol. 14, pp. 1—4 от 2 марта 2021 на Wayback Machine
• de Oliveira, O.R.B. (2011), "The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof", Mathematical Intelligencer , vol. 33, no. 2, pp. 1—2, doi :
• Taylor, Paul (2 June 2007), от 1 мая 2017 на Wayback Machine — English translation of Gauss’s second proof.

Ссылки

• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. (неопр.) . MacTutor History of Mathematics archive . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (май 1996). Дата обращения: 13 ноября 2015. 2 ноября 2015 года.