Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида

${\displaystyle y=x\varphi (y')+f(y'),}$

где ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle f}$ — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при ${\displaystyle \varphi (y')\equiv y'}$ называется уравнением Клеро .

Решение

Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде , с помощью параметра

${\displaystyle y'=p.}$

С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид

${\displaystyle y=x\varphi (p)+f(p).}$

Дифференцирование по x даёт:

${\displaystyle p=\varphi (p)+\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx}}}$

или

${\displaystyle p-\varphi (p)=\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx}}.}$

Особые решения

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной ${\displaystyle y'=p=p_{0}}$ , удовлетворяющей алгебраическому уравнению

${\displaystyle p_{0}-\varphi (p_{0})=0,}$

так как для постоянного ${\displaystyle p_{0}}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dx}}\equiv 0.}$

Если ${\displaystyle y'=p_{0}}$ , то ${\displaystyle y=p_{0}x+C_{0}}$ , постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:

${\displaystyle p_{0}x+C_{0}=x\varphi (p_{0})+f(p_{0}),}$

так как в рассматриваемом случае ${\displaystyle p_{0}=\varphi (p_{0})}$ , то

${\displaystyle C_{0}=f(p_{0})}$ .

Окончательно можем написать:

${\displaystyle y=x\varphi (p_{0})+f(p_{0})}$ .

Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым .

Общее решение

Будем рассматривать обратную функцию к ${\displaystyle p=y'}$ , тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:

${\displaystyle {\frac {dx}{dp}}-x{\frac {\varphi '(p)}{p-\varphi (p)}}={\frac {f'(p)}{p-\varphi (p)}}}$ .

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка , решая которое, получим выражение для x как функцию от p :

${\displaystyle x=w(p,C).}$

Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:

${\displaystyle {\begin{cases}y=x\varphi (p)+f(p)\\x=w(p,C)\end{cases}}}$ .

Исключая из этой системы переменную p , получим общие решение в виде

${\displaystyle \Phi (x,y,C)=0}$ .

Примечания