Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений , основанный на замене производных разностными схемами . Является сеточным методом.

Метод конечных разностей для решения эллиптических задач

Для решения эллиптической задачи методом конечных разностей на расчётной области строится сетка, затем выбирается разностная схема и для каждого узла сетки записывается разностное уравнение (аналог исходного уравнения, но с использованием разностной схемы), затем производится учёт краевых условий (для краевых условий второго и третьего рода так же строится некоторая разностная схема). Получается система линейных алгебраических уравнений , решая которую в ответе получают приближенные значения решения в узлах.
Главной проблемой метода является построение правильной разностной схемы, которая будет сходиться к решению. Построение схемы выполняется исходя из свойств исходного дифференциального оператора.

Сравнение с методом конечных элементов

Другой метод решения эллиптических задач — метод конечных элементов , имеет как преимущества, так и недостатки перед методом конечных разностей.

Преимущества МКР	Преимущества МКЭ
Для простых задач построение разностной схемы выполняется быстрее	Метод является проекционным, то есть устойчив Позволяет работать с геометрически более сложными областями Решение сразу представляет собой функцию и значения в любой точке могут быть вычислены сразу (в МКР предварительно нужно построить сплайн)

Пример

Пусть дана одномерная эллиптическая задача:

${\displaystyle -{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=f(x),~x\in [0,1]}$
${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$

Построим сетку с постоянным шагом ${\displaystyle h={\frac {1}{4}}}$ . Для аппроксимации выберем трёхточечный шаблон, то есть для аппроксимации производной в точке ${\displaystyle x_{i}}$ будем использовать точки ${\displaystyle \left\{x_{i-1},x_{i},x_{i+1}\right\}}$ . Тогда разностное уравнение будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle {\frac {-u_{i-1}+2u_{i}-u_{i+1}}{h^{2}}}=f_{i},~i=1,2,3}$

Учитывая краевые условия, система линейных уравнений вида ${\displaystyle Au=b}$ , для нахождения решения, будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-16&32&-16&0&0\\0&-16&32&-16&0\\0&0&-16&32&-16\\0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}~~b={\begin{pmatrix}0\\f({\frac {1}{4}})\\f({\frac {1}{2}})\\f({\frac {3}{4}})\\0\\\end{pmatrix}}}$ .

Метод конечных разностей для решения нестационарных задач

Решение задач методом конечных разностей, когда процесс изменяется во времени, представляет собой итерационный процесс — на каждой итерации мы находим решение на новом временном слое. Для решения таких задач используются явные, неявные схемы и предиктор-корректор (пара из специально подобранных явной и неявной схемы). Явные схемы и схемы предиктор-корректор просто пересчитывают значение, используя информацию с предыдущих временных слоёв, использование неявной схемы приводит к решению уравнения (или системы уравнений).
Для параболических и гиперболических уравнений часто прибегают к смешиванию методов — производные по времени аппроксимируют с помощью разностной схемы, а оператор по пространству аппроксимируется с помощью конечноэлементной постановки .

Пример решения обыкновенного дифференциального уравнения

Пусть дано уравнение ${\displaystyle {\frac {du}{dt}}=u}$ с начальным условием ${\displaystyle u(0)=1}$ . Для решения воспользуемся следующими разностными схемами:

• Явная схема Эйлера ${\displaystyle {\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{t=t_{i}}={\frac {u_{i}-u_{i-1}}{h}}}$ . Разностное уравнение: ${\displaystyle u_{i+1}={\frac {1}{1-h}}u_{i}}$ .
• Неявная схема Эйлера ${\displaystyle {\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{t=t_{i}}={\frac {u_{i+1}-u_{i}}{h}}}$ . Разностное уравнение: ${\displaystyle u_{i+1}=(1+h)u_{i}}$ .

С шагом ${\displaystyle h=0.25}$ . Точным решением является экспонента : ${\displaystyle u=e^{t}}$

Результат вычисления для нескольких первых шагов
Значение t	Точное решение	Явная схема Эйлера	Неявная схема Эйлера
${\displaystyle 0.25}$	${\displaystyle 1.28...}$	${\displaystyle 1.25}$	${\displaystyle 1.33...}$
${\displaystyle 0.50}$	${\displaystyle 1.64...}$	${\displaystyle 1.56...}$	${\displaystyle 1.77...}$
${\displaystyle 0.75}$	${\displaystyle 2.11...}$	${\displaystyle 1.95...}$	${\displaystyle 2.36...}$

При уменьшении шага точность метода увеличивается. Поскольку исходное уравнение — это линейное дифференциальное уравнение , то и для неявной схемы тоже получилось линейное уравнение, из которого можно выразить (что и было сделано) решение.

Пример решения параболического уравнения

Этот пример демонстрирует, как совмещаются конечноэлементные постановки и разностные схемы. Пусть дано параболическое уравнение:

${\displaystyle -\Delta u+{\frac {\partial u}{\partial t}}=f(\mathbf {r} ,t),~in~\Omega }$
${\displaystyle u=g~on~\partial \Omega ,~{\Bigl .}u{\Bigr |}_{t=0}=\chi (\mathbf {r} )}$

Для аппроксимации по времени, используя неявную схему Эйлера, получим:

${\displaystyle -\Delta u^{i+1}+{\frac {u^{i+1}-u^{i}}{\tau }}=f(\mathbf {r} ,t^{i+1})}$

Поскольку значение на предыдущем слое уже известно, то, при перенесении его в правую часть, получается эллиптическое уравнение относительно ${\displaystyle u^{i+1}}$ :

${\displaystyle -\Delta u^{i+1}+{\frac {1}{\tau }}u^{i+1}=f^{i+1}+{\frac {1}{\tau }}u^{i}}$

Для решения данного уравнения можно применить метод Галёркина , тогда полученная СЛАУ будет иметь следующий вид:

${\displaystyle \left(G+{\frac {1}{\tau }}M\right)x^{i+1}=b^{i+1}+{\frac {1}{\tau }}Mx^{i}}$ .

Здесь: ${\displaystyle G}$ — матрица жесткости, ${\displaystyle M}$ — матрица массы, ${\displaystyle b}$ — вектор, связный с правой частью исходного уравнения, ${\displaystyle x^{i}}$ — вектор весов базисных функций на слое с номером ${\displaystyle i}$ .

Однако, решение по пространству можно искать также и с помощью разностной схемы, аналогично показанному выше примеру.

См. также

• Метод конечных разностей во временной области
• Интерполяция / Экстраполяция

Литература

• Самарский А.А. , Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — Москва: Наука , 1978. — 592 с.
• Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. — Москва: Мир , 1978. — 461 с.

Примечания