Диофа́нтово уравнение
(также
уравнение в целых числах
) — это
уравнение
вида
-
где
—
целочисленная
функция
, например,
полином
с целыми коэффициентами, а переменные
принимают целые значения. «Диофантовым» уравнение названо в честь древнегреческого математика
Диофанта
.
Также при рассмотрении вопроса разрешимости переменные часто разделяют на параметры (значения которых предполагаются фиксированными) и неизвестные. Так, уравнение
-
с параметрами
и неизвестными
считается разрешимым при данных значениях набора параметров
, если существуют набор чисел
, при которых это равенство становится верным.
Таким образом,
диофантовыми уравнениями
называют уравнения с целыми коэффициентами, для которых требуется найти целочисленные (или натуральные) решения. При этом количество неизвестных в уравнении должно быть не менее двух
. Своё название уравнения получили в честь выдающегося античного математика
Диофанта Александрийского
, который, как считается, первым систематически изучал неопределённые уравнения и описывал методы их решения
. Все сохранившиеся записи собраны в книгу «Арифметика»
. После Диофанта схожим изучением неопределённых уравнений занимались индусские математики, начиная примерно с пятого века
. В Европе решением неопределённых уравнений занимались практически все крупные алгебраисты своего времени:
Леонардо Фибоначчи
(ок.1170 — 1250 гг.),
Франсуа Виет
(1540—1603 гг.),
Симон Стевин
(ок. 1549—1620 гг.)
.
Проблема решения
уравнений в целых числах
рассмотрена до конца для уравнений с одним неизвестным, а также для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными.
Примеры
-
:
-
При
решениями этого уравнения являются
пифагоровы тройки
.
-
Согласно
Великой теореме Ферма
, это уравнение не имеет ненулевых целых решений при
.
-
—
гипотеза Эйлера
утверждает, что для любого натурального числа
n
> 2 это уравнение неразрешимо в натуральных числах
, то есть никакую
n
-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы
n
-1
n
-х степеней других натуральных чисел. Гипотеза является обобщением великой теоремы Ферма, но была опровергнута для
n
= 4 и
n
= 5, после чего была выдвинута
гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа
.
-
, где параметр
n
не является точным квадратом —
уравнение Пелля
.
-
, где
, —
уравнение Каталана
, которое имеет единственное решение
.
-
при
и
—
уравнение Туэ
.
Линейные диофантовы уравнения
Общий вид
линейного диофантова уравнения
:
-
В частности,
линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными
имеет вид:
-
Если
(то есть
наибольший общий делитель
не делит
), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, если
, то число, стоящее слева в (1), делится на
, а стоящее справа — нет. Справедливо и обратное: если в уравнении
выполняется
, то оно разрешимо в целых числах.
Пусть
— частное решение уравнения
. Тогда все его решения находятся по формулам:
-
Частное решение
можно построить следующим образом. Если
и
делится на
, то после деления всех коэффициентов на
уравнение приобретает вид
, где
. Для последнего уравнения частное решение получается из
соотношения Безу
для
:
-
исходя из которого, можно положить
Известна явная формула для серии решений линейного уравнения
:
-
где
—
функция Эйлера
, а
t
— произвольный целый параметр.
Алгебраические диофантовы уравнения
При рассмотрении вопроса разрешимости
алгебраических
диофантовых уравнений можно воспользоваться тем, что любую систему таких уравнений можно преобразовать в одно диофантово уравнение степени не выше 4 в целых неотрицательных числах, разрешимое в том и только том случае, когда разрешима исходная система (при этом множество переменных и множество решений этого нового уравнения может оказаться совершенно другим).
Диофантовы множества
Диофантовым множеством
называется множество состоящее из упорядоченных наборов из n целых чисел, для которого существует алгебраическое диофантово уравнение:
-
которое разрешимо тогда и только тогда, когда набор чисел
принадлежит этому множеству. Рассматриваемое диофантово уравнение называется
диофантовым представлением
этого множества. Важный результат, полученный
Ю. В. Матиясевичем
, состоит в том, что каждое
перечислимое множество
имеет диофантово представление
.
Неразрешимость в общем виде
Десятая проблема Гильберта
, сформулированная в
1900 году
, состоит в нахождении
алгоритма
решения произвольных алгебраических диофантовых уравнений. В
1970 году
Ю. В. Матиясевич
доказал
алгоритмическую неразрешимость
этой проблемы.
Экспоненциальные диофантовы уравнения
Если одна или более переменных в диофантовом уравнении входит в выражение показателя
возведения в степень
, такое диофантово уравнение называется
экспоненциальным
.
Примеры:
Общая теория решения таких уравнений отсутствует; частные случаи, такие как
Гипотеза Каталана
, были исследованы. Однако большинство из этих уравнений всё же удаётся решить специальными методами, такими как
или даже
метод проб и ошибок
.
См. также
Примечания
-
. Абакумова С. И., Гусева А. Н. Диофантовы уравнения Фундаментальные и прикладные исследования в современном
мире. — 2014. — Т. 1, № 6. — С. 133—137.
-
Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения — Москва : Наука, 1972. — 68 с
-
Жмурова, И. Ю. Диофантовы уравнения: от древности до нашихдней. Молодой учёный. — 2014. — № 9. -С. 1-5
-
Кожаев, Ю. П. Греческий математик Диофант и диофантовы уравнения. Материалы IV Всероссийской научно — практической конференции «Культура и общество: история и современность»- Ставрополь : АГРУС. — 2015. — С. 150—154.
-
Мельников Р. А. Краткий обзор этапов развития диофантовых уравнений. Материалы международной научно-практической конференции «Математика: фундаментальные и прикладные исследования и вопросы образования» — Рязань : издательство РГУ им. С. А. Есенина, 2016. — С. 429—435.
-
Воробьёв Н. Н.
. —
М.
: Наука, 1988. — С. 60. — 96 с. — (
Популярные лекции по математике
).
18 июля 2020 года.
-
Диофантово множество
— статья из
Математической энциклопедии
. Ю. В. Матиясевич
-
Матиясевич Ю. В.
. —
М.
: Наука, 1993.
28 октября 2013 года.
Ссылки
-
Башмакова И. Г.
Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972. German translation:
Diophant und diophantische Gleichungen
. Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation:
Diophantus and Diophantine Equations
. Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
-
Башмакова И. Г., Славутин Е. И.
История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. — М.: Наука, 1984.
-
Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat, "
Revue d’Histoire des Sciences
19 (1966), pp. 289—306
-
Bashmakova, Izabella G. «Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré,»
Historia Mathematica
8 (1981), 393—416.
-
Гельфонд А. О.
. —
М.
: Наука, 1978. — (
Популярные лекции по математике
).
-
Михайлов И.
//
Квант
. — 1980. —
№ 6
. —
С. 16—17,35
.
-
Rashed, Roshdi, Houzel, Christian.
Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique
, Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
-
Rashed, Roshdi,
Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat
, Berlin, New York : Walter de Gruyter.
-
Серпинский В. Н.
. —
М.
:
Физматлит
, 1961. — 88 с.
-
Степанов С. А.
// Тр. МИАН СССР. — 1984. —
Т. 168
. —
С. 31–45
.
-
Weisstein, Eric W.
(англ.)
на сайте Wolfram
MathWorld
.
Ссылки на внешние ресурсы
|
|
|
Словари и энциклопедии
|
|
В библиографических каталогах
|
|
|