Interested Article - Диофантово уравнение

Диофа́нтово уравнение (также уравнение в целых числах ) — это уравнение вида

где целочисленная функция , например, полином с целыми коэффициентами, а переменные принимают целые значения. «Диофантовым» уравнение названо в честь древнегреческого математика Диофанта .

Также при рассмотрении вопроса разрешимости переменные часто разделяют на параметры (значения которых предполагаются фиксированными) и неизвестные. Так, уравнение

с параметрами и неизвестными считается разрешимым при данных значениях набора параметров , если существуют набор чисел , при которых это равенство становится верным.

Таким образом, диофантовыми уравнениями называют уравнения с целыми коэффициентами, для которых требуется найти целочисленные (или натуральные) решения. При этом количество неизвестных в уравнении должно быть не менее двух . Своё название уравнения получили в честь выдающегося античного математика Диофанта Александрийского , который, как считается, первым систематически изучал неопределённые уравнения и описывал методы их решения . Все сохранившиеся записи собраны в книгу «Арифметика» . После Диофанта схожим изучением неопределённых уравнений занимались индусские математики, начиная примерно с пятого века . В Европе решением неопределённых уравнений занимались практически все крупные алгебраисты своего времени: Леонардо Фибоначчи (ок.1170 — 1250 гг.), Франсуа Виет (1540—1603 гг.), Симон Стевин (ок. 1549—1620 гг.) .

Проблема решения уравнений в целых числах рассмотрена до конца для уравнений с одним неизвестным, а также для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными.

Примеры

  • :
  • гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа n > 2 это уравнение неразрешимо в натуральных числах , то есть никакую n -ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы n -1 n -х степеней других натуральных чисел. Гипотеза является обобщением великой теоремы Ферма, но была опровергнута для n = 4 и n = 5, после чего была выдвинута гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа .
  • , где параметр n не является точным квадратом — уравнение Пелля .
  • , где , — уравнение Каталана , которое имеет единственное решение .
  • при и уравнение Туэ .

Линейные диофантовы уравнения

Общий вид линейного диофантова уравнения :

В частности, линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

Если (то есть наибольший общий делитель не делит ), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, если , то число, стоящее слева в (1), делится на , а стоящее справа — нет. Справедливо и обратное: если в уравнении выполняется , то оно разрешимо в целых числах.

Пусть — частное решение уравнения . Тогда все его решения находятся по формулам:

Частное решение можно построить следующим образом. Если и делится на , то после деления всех коэффициентов на уравнение приобретает вид , где . Для последнего уравнения частное решение получается из соотношения Безу для :

исходя из которого, можно положить

Известна явная формула для серии решений линейного уравнения :

где функция Эйлера , а t — произвольный целый параметр.

Алгебраические диофантовы уравнения

При рассмотрении вопроса разрешимости алгебраических диофантовых уравнений можно воспользоваться тем, что любую систему таких уравнений можно преобразовать в одно диофантово уравнение степени не выше 4 в целых неотрицательных числах, разрешимое в том и только том случае, когда разрешима исходная система (при этом множество переменных и множество решений этого нового уравнения может оказаться совершенно другим).

Диофантовы множества

Диофантовым множеством называется множество состоящее из упорядоченных наборов из n целых чисел, для которого существует алгебраическое диофантово уравнение:

которое разрешимо тогда и только тогда, когда набор чисел принадлежит этому множеству. Рассматриваемое диофантово уравнение называется диофантовым представлением этого множества. Важный результат, полученный Ю. В. Матиясевичем , состоит в том, что каждое перечислимое множество имеет диофантово представление .

Неразрешимость в общем виде

Десятая проблема Гильберта , сформулированная в 1900 году , состоит в нахождении алгоритма решения произвольных алгебраических диофантовых уравнений. В 1970 году Ю. В. Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.

Экспоненциальные диофантовы уравнения

Если одна или более переменных в диофантовом уравнении входит в выражение показателя возведения в степень , такое диофантово уравнение называется экспоненциальным .

Примеры:

Общая теория решения таких уравнений отсутствует; частные случаи, такие как Гипотеза Каталана , были исследованы. Однако большинство из этих уравнений всё же удаётся решить специальными методами, такими как или даже метод проб и ошибок .

См. также

Примечания

  1. . Абакумова С. И., Гусева А. Н. Диофантовы уравнения Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. — 2014. — Т. 1, № 6. — С. 133—137.
  2. Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения — Москва : Наука, 1972. — 68 с
  3. Жмурова, И. Ю. Диофантовы уравнения: от древности до нашихдней. Молодой учёный. — 2014. — № 9. -С. 1-5
  4. Кожаев, Ю. П. Греческий математик Диофант и диофантовы уравнения. Материалы IV Всероссийской научно — практической конференции «Культура и общество: история и современность»- Ставрополь : АГРУС. — 2015. — С. 150—154.
  5. Мельников Р. А. Краткий обзор этапов развития диофантовых уравнений. Материалы международной научно-практической конференции «Математика: фундаментальные и прикладные исследования и вопросы образования» — Рязань : издательство РГУ им. С. А. Есенина, 2016. — С. 429—435.
  6. Воробьёв Н. Н. . — М. : Наука, 1988. — С. 60. — 96 с. — ( Популярные лекции по математике ). 18 июля 2020 года.
  7. Диофантово множество — статья из Математической энциклопедии . Ю. В. Матиясевич
  8. Матиясевич Ю. В. . — М. : Наука, 1993. 28 октября 2013 года.

Ссылки

  • Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972. German translation: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation: Diophantus and Diophantine Equations . Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
  • Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. — М.: Наука, 1984.
  • Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat, " Revue d’Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289—306
  • Bashmakova, Izabella G. «Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré,» Historia Mathematica 8 (1981), 393—416.
  • Гельфонд А. О. . — М. : Наука, 1978. — ( Популярные лекции по математике ).
  • Михайлов И. // Квант . — 1980. — № 6 . — С. 16—17,35 .
  • Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique , Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
  • Rashed, Roshdi, Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat , Berlin, New York : Walter de Gruyter.
  • Серпинский В. Н. . — М. : Физматлит , 1961. — 88 с.
  • Степанов С. А. // Тр. МИАН СССР. — 1984. — Т. 168 . — С. 31–45 .
  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Источник —

Same as Диофантово уравнение